Exemplo 3. Três barras

       O sistema articulado mais simples é constituído por 4 barras, formando um quadrilátero, articulado nos seus vértices. Este sistema tem um ou dois graus de liberdade conforme fixamos dois ou apenas um dos pontos ligados ao sistema.

       Quando os dois pontos fixos coincidem com duas das articulações temos o que se chama um -barras. As barras e dizem-se as manivelas e a barra a biela.

       Os pontos e movem-se em círculos de raios e , respectivamnte, mas, em geral, não os descrevem completamente.  No applet pode redimensionar os comprimentos das barras e verificar o comportamento do sistema controlando com o rato o ponto .

       Se o ponto em vez de estar ligado ao ponto fixo , estiver restrito a mover-se sobre uma recta que passa em , temos (supondo que ) a biela-manivela usuais, que serve para transformar um movimento rectilíneo periódico de , num movimento circular contínuo do ponto , ou vice-versa.

       Se as manivelas são iguais entre si e a biela é igual à distância dos pontos fixos, mas formando um contra-paralelogramo, como no applett seguinte, as curvas descritas por um qualquer ponto rigidamente ligado à biela são do quarto grau. No applet, o ponto médio do segmento descreve uma lemniscata de Bernoulli.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

       É fácil obter, em cada instante, as normais às trajectórias dos pontos rigidamente ligados à biela. De facto estas normais passam todas pelo centro instantâneo de rotação, que está situado no ponto de encontro das normais e às trajectórias de e .

        Olhando para o applet anterior, vemos que:

e, anàlogamente:

       A primeira destas igualdades diz-nos que o lugar geométrico do centro instantâneo de rotação, no plano fixo , é uma hipérbole cujos focos são e . Por outro lado, a segunda igualdade diz-nos que o lugar geométrico do centro instantâneo de rotação, agora no plano móvel (suposto ligado à biela ), é uma hipérbole igual à primeira e cujos focos são e . Portanto o movimento , no caso em que a biela é mais longa que as manivelas, é o movimento de rolamento de uma hipérbole (a rolante) em , sobre uma outra igual (a base) em .

      
 
       Consideremos a posição do sistema na qual as manivelas são paralelas. O centro instantâneo de rotação está então no infinito, na direcção comum destas rectas, e todo o ponto ligado à biela tem um deslocamento infinitesimal equivalente a uma translacção perpendicular à direcção comum de e . Em particular, o ponto médio de passa, sobre a sua trajectória, por um ponto de inflexão em que a tangente é perpendicular a (faça o teste no applet ...)

        Watt observou que, para um comprimento das bielas muito grande quando comparado com o comprimento da biela, o ponto afasta-se pouco desta tangente e a sua trajectória diz-se, por isso, uma curva de longa inflexão. Deduziu assim uma solução aproximada para a transformação, sem guiagem, de um movimento circular (o do ponto ) em movimento rectilíneo (o do ponto ).

        Para ter, fora da recta , um ponto que descreva uma recta, ele construiu sobre e sobre o segmento , que prolonga , de um comprimento igual, um paralelogramo articulado :

       A recta passa pelo ponto médio de e é o ponto médio de . A trajectória de é pois homotética, relativamente a , da trajectória de , e é por isso também uma curva de longa inflexão.

       Existem muitos outros processos de traçado aproximado e exacto de uma linha recta usando sistemas articulados. Para uma descrição detalhada veja a tradução da obra de Kempe "Como desenhar uma linha recta, usando sistemas articulados".