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Método de Mannheim para a determinação do centro de curvatura

Construção de Mannheim ... Uma recta móvel $ AB$ envolve uma curva dada $ {\mathscr{E}}$. As extremidades $ A$ e $ B$ dessa recta movem-se, respectivamente, sobre as curvas $ (A)$ e $ (B)$.

     Sobre o segmento $ AB$ construímos um triângulo semelhante a um triângulo dado. Seja $ M$ o outro vértice do triângulo móvel (deformável) $ \triangle(ABM)$.

      Pretende-se determinar a normal à trajectória $ (M)$ de $ M$.


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       Uma vez que o triângulo móvel (deformável) $ \triangle(ABM)$ se mantem sempre semelhante a um triângulo dado (ver o applett), o ângulo em $ A$ mantem-se sempre constante. É pois uma figura indeformável e o seu centro instantâneo de rotação$ X$, está na intersecção da normal em $ A$ à curva $ (A)$ e à normal em $ E$ à envolvente $ {\mathscr{E}}$.

       Anàlogamente, o ângulo em $ B$ mantem-se sempre constante e o seu centro instantâneo de rotação$ Y$, está na intersecção da normal em $ B$ à curva $ (B)$ e à normal em $ E$ à envolvente $ {\mathscr{E}}$.

       Mas o mesmo acontece para o ângulo em $ M$ - mantem-se sempre constante. Os seus lados $ AM$ e $ BM$ envolvem duas curvas e podemos calcular os pontos característicos de contacto pelo processo habitual. Assim, o ponto característico $ F$ do lado $ AM$ está no pé da perpendicular baixada de $ X$ sobre esse lado.

       Anàlogamente o ponto característico $ G$ do lado $ BM$ - está no pé da perpendicular baixada de $ Y$ sobre esse lado.

    Mas isto significa que o centro instantâneo de rotação do ângulo $ \measuredangle(AMB)$ é o ponto $ Z$, onde as perpendiculares, consideradas anteriormente, se intersectam.

       Logo, unindo $ M$ com $ Z$, obtemos a normal à trajectória $ (M)$ de $ M$.
       Note ainda que o triângulo $ \triangle(ABM)$ é semelhante ao $ \triangle(XYZ)$ e portanto:

$\displaystyle \frac{XZ}{ZY}=\frac{AM}{MB}$ (1)


       Apliquemos esta teoria ao caso especial em que o triângulo dado degenera num segmento de recta com um ponto no seu interior.


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       Obtemos assim a seguinte construção:

       Dado um segmento $ AB$, de comprimento variável, que se move envolvendo uma curva dada $ {\mathscr{E}}$, e cujas extremidades $ A$ e $ B$ se movem, respectivamente, sobre duas curvas dadas $ (A)$ e $ (B)$, consideremos um ponto $ M$ que o divide em dois segmentos proporcionais a dois dados (ver o applet anterior).

       Para construir a normal à trajectória de $ M$, consideremos a normal em $ A$ à curva $ (A)$. Esta recta intersecta em $ X$ a normal em $ E$ à envolvente $ {\mathscr{E}}$ da recta $ AB$. Anàlogamente se determina o ponto $ Y$.

     Aplicamos agora a proporção (1) - sobre o segmento $ XY$ tomamos um ponto $ Z$ que divide $ XY$ na mesma proporção que $ M$ divide $ AB$.  A recta $ MZ$ é a normal pedida.

      Inversamente, suponhamos que uma recta se desloca de tal forma que três curvas dadas $ (A),(M)$ e $ (B)$ a dividem em segmentos proporcionais a dois segmentos fixos.

    Para obter o ponto característico $ E$ dessa recta, isto é, o ponto de contacto com a sua envolvente $ {\mathscr{E}}$, procedemos da seguinte forma:

   Traçamos uma perpendicular à recta $ AB$ que seja dividida pelas normais $ AX$, $ BY$ e $ MZ$ (agora conhecemos $ M$, mas não conhecemos $ E$...) de tal forma a que, sobre essa perpendicular, os pontos $ X,Z$ e $ Y$, verifiquem a proporção (1), isto é:

$\displaystyle \frac{XZ}{ZY}=\frac{AM}{MB}$

O ponto $ E$ é então o ponto de encontro dessa perpendicular com a recta $ AB$.

      Quando a recta se desloca mantendo-se sempre perpendicular a uma das curvas, $ (A),(M)$ ou $ (B)$, o ponto em que ela toca a sua envolvente é o centro de curvatura dessa curva.

      Este resultado permite por exemplo calcular o centro de curvatura de uma elipse como se ilustra no applet seguinte:

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       Aqui as curvas $ (A),(M)$ e $ (B)$ são, respectivamente, o eixo maior, a própria elipse e o eixo menor. A normal à elipse em $ M$ intersecta os eixos maior e menor sempre numa proporção constante:

$\displaystyle \frac{MA}{MB}\equiv\,\hbox{constante}$

       A construção prossegue como atrás se indicou - há que colocar a perpendicular a $ AB$ de tal forma a que ela seja intersectada pelas normais aos eixos maior e menor na proporção anterior, isto é:

$\displaystyle \frac{ZX}{ZY}=\frac{MA}{MB}\equiv\,\hbox{constante}$

Compare com o seguinte applet, onde a determinação do centro (e raio) de curvatura se faz através do círculo osculador (que tem contacto de ordem $ 2$ com a elipse).


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       Consideremos um círculo móvel de centro $ O$ que rola sem deslizar sobre um outro círculo fixo de centro $ o$. O ponto $ M$, rigidamente ligado ao plano do círculo móvel vai descrever um epiciclóide:


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       Unamos o ponto $ M$ ao centro $ O$ do círculo móvel e, pelo centro $ o$ do círculo fixo, tracemos uma paralela à recta $ MO$. Esta recta encontra a normal $ MA$ no ponto $ B$.

       Os triângulos $ \triangle(MAO)$ e $ \triangle(BoA)$ são semelhantes e daí que:

$\displaystyle \frac{MO}{OA}=\frac{oB}{oA}$

Nesta proporção os segmentos $ MO$, $ OA$ e $ oA$ têm sempre comprimento constante, qualquer que seja a posição do círculo móvel. Portanto o segmento $ oB$ tem também sempre o mesmo comprimento, o que significa que $ B$ se move sobre um círculo centrado em $ o$ e de raio $ oB$.


 

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       A semelhança dos triângulos $ \triangle(MAO)$ e $ \triangle(BoA)$ implica ainda que a razão $ \frac{MA}{MB}$ é sempre constante. A recta $ MA$ é pois dividida em segmentos sempre proporcionais, pelo epiciclóide $ (M)$, o círculo fixo $ (A)$ e o círculo concêntrico $ (B)$.

      Podemos portanto construir o seu ponto característico $ E$, onde ela toca a sua envolvente.

    A normal ao epiciclóide no ponto $ M$ é a recta $ MA$ ($ A$ é o centro instantâneo de rotação); a normal ao círculo fixo em $ A$ é o raio $ Ao$; a normal ao círculo concêntrico $ (B)$, em $ B$, é o raio $ oB$.

     De acordo com a construção de Mannheim, para construir o ponto característico $ E$, e portanto o centro de curvatura do epiciclóide, devemos traçar uma perpendicular à recta $ MB$ que seja dividida pelas normais atrás indicadas - $ MA$, o raio $ Ao$ e raio $ oB$ - na proporção constante $ \frac{MA}{MB}$.

     Podemos fazer a construção directa, como o fizemos para a elipse. No entanto, é mais fácil fazer o seguinte:

    A partir do ponto $ A$ traçamos uma perpendicular a $ MA$; ela intersecta a recta $ MO$ num ponto $ D$; a recta $ Do$ corta a normal $ MA$ num ponto $ Z$ - este é o centro de curvatura do epiciclóide no ponto $ M$.

    Para ver que de facto assim é, prolonguemos a recta $ AD$ até ao ponto $ E$, onde ela encontra a recta $ oB$, e tracemos a paralela $ ZXY$ a $ AD$. Temos então que:

$\displaystyle \frac{ZX}{ZY}=\frac{DA}{DE}=\frac{MA}{MB}$

     O ponto $ Z$ é pois o pé da perpendicular dividida pelas normais atrás indicadas - $ MA$, o raio $ Ao$ e raio $ oB$ - na proporçãoconstante $ \frac{MA}{MB}$. É pois o centro de curvatura do epiciclóide no ponto $ M$.

     Esta construção deve-se a Euler e Savary.

Resumindo:

  • Una $ O$ com $ o$, para determinar o centro instantâneo de rotação $ A$.
  • Una $ M$ com $ O$ e trace uma paralela a esta recta passando por $ o$.
  • Una $ M$ com $ A$ para determinar o ponto $ B$.
  • Trace uma perpendicular à recta $ MB$, passando por $ A$. Isto determina o ponto $ D$.
  • Una o ponto $ D$ com $ o$.
  • intersecte a recta $ Do$ com a recta $ MB$ para obter o centro de curvatura $ Z$ pretendido.

Quando se pretende calcular o centro de curvatura da trajectória de um ponto $ M$, rigidamente ligado a um plano móvel $ {\mathscr{M}}$, num movimento genérico $ {\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$, procedemos da seguinte forma:

  • calculamos primeiro a base e a rolante desse movimento
  • substituímos essas duas curvas pelos respectivos círculos osculadores relativos ao centro instantâneo de rotação. O movimento $ {\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$ é pois tangente (de ordem $ 2$) a um movimento epicicloidal do tipo que acabamos de analisar
  • aplicamos a construção de Euler-Savary a esse movimento epicicloidal

 


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Joao Nuno Tavares 2005-05-20