A aula esquecida de Feynman (I)


Feynman, na sua "Lost lecture", resolve o problema inverso relativo à força central $ F \propto 1/R^2$ , isto é, conhecendo a força, ele prova a lei das elipses de Kepler: ``Cada planeta move-se sobre uma elipse com o sol num dos focos" , usando argumentos de geometria elementar!

Como vimos, Newton considera uma aproximação poligonal da órbita, constituída por uma série de pontos separados por um mesmo intervalo de tempo $ \Delta t$ . Em cada um desses pontos, a trajectória do planeta é desviada do movimento rectilíneo por inércia por uma força impulsiva que o atrai em direcção ao Sol.
A aproximação poligonal de Feynman



Feynman usa uma aproximação poligonal diferente - os vértices da poligonal em vez de estarem separados por um mesmo intervalo de tempo, estão agora separados por um mesmo ângulo ao centro $ \Delta \theta$.

 
Na figura acima os dois segmentos têm um mesmo ângulo ao centro mas delimitam áreas diferentes e portanto correspondem a tempos diferentes de percurso.






Do lado da órbita mais próximo do Sol o planeta vai de A para B , aí é desviado por $ \Delta v$ e continua de B para C. Do outro lado da órbita, o planeta vai de D para E sofre um novo impulso e segue de E para F, como se vê na figura seguinte:





Sabemos que o planeta move-se mais rapidamente ao longo de BC do que ao longo de EF (recorde que, de acordo com a lei das áreas, o planeta move-se mais rapidamente quando está mais perto do Sol). Para saber quão mais rapidamente, temos que comparar as áreas dos triângulos $ SBC$ e $ SEF$ , uma vez que os tempos são proporcionais às áreas (lei das áreas de Kepler).

Goodstein em [2] mostra que a área é proporcional ao quadrado da distância do planeta ao Sol:

$\displaystyle \Delta {\mathcal{A}}\propto \hbox{dist}(P,S)=R^2$
O argumento está explicado na figura seguinte:

Mas um argumento de aproximação mostra, mais precisamente, que:

$\displaystyle \Delta {\mathcal{A}}\propto R^2\Delta { \theta}$ (3)







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