A aula esquecida de Feynman (II)

O que é que sabemos mais? Vejamos:

A segunda lei de Newton diz que:

$\displaystyle {\bf F}\propto{\bf a}= \frac{\Delta {\bf v}}{\Delta t}=\frac{\Delta {\bf v}}{\Delta { \theta}}\frac{\Delta { \theta}}{\Delta t}$

(4)

A lei das áreas diz que o tempo é proporcional à área: $\Delta t \propto \Delta {\mathcal{A}}$ , e atendendo a (3):

$\displaystyle \Delta t \propto \Delta {\mathcal{A}}\propto R^2\Delta { \theta}$

isto é:

$\displaystyle \frac{\Delta { \theta}}{\Delta t} \propto 1/R^2$

(5)

Por hipótese, conhecemos como a força central depende de $R=\vert SP\vert=$ distância do planeta ao Sol - a força é a da atracção universal de Newton - força central inversamente proporcional ao quadrado da distância:

$\displaystyle {\bf F}\propto \frac{\widehat{{\bf r}} }{R^2}$

(6)

onde $\widehat{{\bf r}}=\frac{\overrightarrow{SP}}{\vert\overrightarrow{SP}\vert}$ é um vector unitário com a direcção do raio vector do ponto $ P$

, aplicado em $ S$

(o centro de forças).

Finalmente, reunindo toda esta informação, temos então que, por (6), (4) e (5), respectivamente:

$$\displaystyle \frac{\widehat{{\bf r}} }{R^2} \propto {\bf F}\propto \frac{\Delt...$

o que implica que:

$$\displaystyle \frac{\Delta{\bf v}}{\Delta$

ou ainda:

$\displaystyle \Delta {\bf v}\propto \widehat{{\bf r}} \Delta { \theta}$

(7)

Portanto:

a variação da velocidade é proporcional à variação do ângulo e tem sempre a direcção radial, determinada pelo vector de posição.

Em particular, $\Delta v$ não depende de ! Em todo o ponto da órbita, não importa quão distante ou perto do Sol, o $\Delta v$ correspondente a um dado ângulo é sempre o mesmo! Isto acontece porque, como vimos em (6), à medida que o planeta se afasta do Sol, a força que sobre ele actua fica cada vez mais fraca (diminui com o quadrado da distância) mas o tempo que a força actua no planeta aumenta (com o quadrado da distância, como em (3)). O resultado é que todos os $\Delta v$ 's são iguais.

As diferenças

em Newton: os intervalos de tempo são todos iguais e os $\Delta v$ 's apontam todos para o Sol. Mas os $\Delta v$ 's são diferentes - os maiores $\Delta v$ 's ocorrem quando o planeta está mais próximo do Sol.

em Feynman: os ângulos centrais são todos os mesmos e portanto os $\Delta t$ 's são diferentes. Os $\Delta v$ 's apontam todos para o Sol e são todos iguais em módulo ao longo de toda a órbita.

Reconstrução da aproximação poligonal da órbita

Este é o resultado principal de Feynman. Ele permite reconstruir a aproximação poligonal da órbita, dados:

1.: a posição inicial 0 do planeta
2.: a sua velocidade inicial ${\bf v}_0$ e ainda
3.: o valor constante de $\Delta v$

De facto, como se pode ver no applett seguinte:

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o planeta, partindo de 0, segue em linha recta com movimento uniforme com velocidade ${\bf v}_0$ . Quando o raio vector varre um ângulo ao centro de , o planeta atinge o ponto 1.

no ponto 1 o planeta sofre uma força impulsiva que muda a sua velocidade de $\Delta v$ no sentido radial. A nova velocidade ${\bf v}_1$ é calculada pela regra do paralelogramo $$ {\bf v}_1={\bf v}_0+\Delta$ .

o planeta, partindo de 1, segue com movimento rectilíneo uniforme com velocidade ${\bf v}_1$ . Quando o raio vector varre um ângulo ao centro de , o planeta atinge o ponto 2.

no ponto 2 o planeta sofre uma força impulsiva que muda a sua velocidade de $\Delta v$ no sentido radial. A nova velocidade ${\bf v}_2$ é calculada pela regra do paralelogramo $$ {\bf v}_2={\bf v}_1+\Delta$ .

e assim sucessivamente.

No applett seguinte destacou-se, num diagrama separado, a variação sucessiva das velocidades. A este diagrama de velocidades chama-se hodógrafo (= graphein + hodos = desenhar o caminho). Foi inventado por Hamilton.

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Como acabamos de deduzir, o hodógrafo para o movimento de um planeta sob a acção de um campo de atracção Newtoniano, é um círculo, cujo centro $ C$ em geral não coincide com a origem $ O$ do hodógrafo.

Se dividirmos a trajectória em sectores que subentendem ângulos iguais $\Delta { \theta}$ (por exemplo iguais a $ 30^o$ , como no applett), então a soma de todos os $\Delta {\bf v}$ 's formam um polígono regular uma vez que as sucessivas mudanças dos vectores velocidade estão inclinadas umas relativamente às outras de um mesmo ângulo $\Delta { \theta}$ , e todos os $\Delta {\bf v}$ 's têm o mesmo tamanho, $K\Delta { \theta}$ . No limite, quando $\Delta { \theta}\to 0$ , o polígono torna-se um círculo de raio $ K$ . O centro do círculo é o ponto de onde parte $\widehat{\bf r}$ . De facto, a "velocidade" do hodógrafo, tangente ao círculo, é a aceleração ${\bf a}$ .

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