O hodógrafo de Hamilton
Reconstrução da órbita




Hamilton inventou o hodógrafo como uma nova maneira de pensar uma trajectória - um ponto do hodógrafo representa o vector velocidade num certo instante e portanto o hodógrafo representa a variação do vector velocidade com o tempo - o arco de hodógrafo entre dois instantes infinitamente próximos é proporcional à aceleração. Por outras palavras, a "velocidade" do hodógrafo representa a aceleração do corpo.

Dada a trajectória é fácil, em princípio, construir o hodógrafo correspondente. Fixamos arbitrariamente uma origem $ O$ e, para cada instante $ t$ , desenhamos o vector $ {\bf v}(t)$
Reconstrução da órbita



E reciprocamente? Dado o hodógrafo e a sua origem como determinar a trajectória?

O problema que surge agora é que, embora saibamos através do hodógrafo, a direcção e grandeza do vector velocidade, não sabemos em que ponto do plano (pertencente à órbita) é que ele é tangente? Não sabemos pois onde colocá-lo.

Feynman recorre a uma construção clássica de uma elipse conhecendo um dos seus círculos directores, e resolve (parcialmente) o problema rodando o hodógrafo de $ 90^o$ graus, no sentido horário.

O hodógrafo continua um círculo mas agora todos os raios do hodógrafo são perpendiculares às verdadeiras direcções das velocidades. Mas isto é exactamente o que acontece na construção acima referida. O tamanho da trajectória não fica determinado mas, pelo menos, a sua forma será a correcta. 

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Vejamos como (veja o applett anterior).

  1. O hodógrafo é um círculo de centro $ C$ , como sabemos, e com uma origem arbitrária $ O$ , não coincidente com $ C$. O Sol ocupa a posição de $ O$.

  2. Considere-se um ponto $ p$ no hodógrafo.

  3. Una-se $ p$ a $ O$ e considere-se a mediatriz $ m$ do segmento $ Op$ .

  4. Intersecte-se essa mediatriz com a recta $ Cp$ , que une $ p$ ao centro do círculo, para obter o ponto $ P$ .

  5. Quando $ p$ varia sobre o hodógrafo $ P$ descreve uma elipse (ou uma hipérbole) cujos focos são $ O$ e $ C$ . Além disso, a mediatriz $ m$ é tangente à elipse no ponto $ P$.

Para calcular o comprimento do vector velocidade desenhamos um hodógrafo auxiliar, como se indica no applett anterior.

Consegue provar que de facto assim acontece , isto é, que quando $ p$ varia sobre o hodógrafo $ P$ descreve uma elipse? Clique aqui.

E quando S está fora do círculo? E quando está sobre?

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Referências




1
Kowen M. and Mathur H., "On Feynmann's analysis of the geometry of Kepler", Am. J. Physics, 71 (4), 397-401 (2003).

2
Goodstein D.and Goodstein J., "Feynman's lost lecture", Vintage, 1997.

As animações foram feitas com o programa Cinderella




Última actualização: 20 de Maio de 2006