Aparelhos para construir cónicas. Conicógrafos

FIGURA

Uma das possíveis definições de cónica, é a seguinte:

$&rtrif#blacktriangleright;$ Definição 3.1   ... Seja $d$ uma linha recta fixa no plano, $F$ um ponto fixo, não pertencente a $d$, e $e >0$ um número positivo.

Ao conjunto:

$${\mathscr{C}}=\left\{P\in \hbox{\em plano}: \ \ \frac{\hbox{\em dist\^ancia}(P,F)}{\hbox{\em dist\^ancia}(P,d)}\equiv e \right \}$$ (1)

chama-se cónica com excentricidade $e$, foco $F$, e directriz $d$. Essa cónica diz-se uma:

$$\begin{array}{lcr} {\hbox{\bf elipse}} & {\hbox{ se}} &e <1 ... ...\\ {\hbox{\bf hip\'erbole}} & {\hbox{ se}} &e >1 \end{array}$$

$\blacksquare$.

APPLET CINDERELLA

Consideremos um sistema de eixos cartesianos cuja origem coincide com o foco $F$, com o eixo dos $x's$ perpendicular à directriz, como na figura seguinte:

FIGURA ConicasCoordPolares.jpg

Com as notações seguintes:

$$r=FP ;\ \ \ \ {\theta}=\measuredangle(BFP)$$

vemos que:

$$e=\frac{\hbox{ dist\^ancia}(P,F)}{\hbox{ dist\^ancia}(P,d)}=\frac{r}{PD}\ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ PD= \frac{r}{e}$$

Mas, por outro lado:

$$f\equiv{\hbox{dist\^ancia $(F;d)$}}=r\cos{\theta}+PD\ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ PD=f-r\cos{\theta}$$

supondo que $P$ está à esquerda da directriz, como na figura, de tal forma que $r\cos{\theta}<f$.

Portanto, nesta situação, virá que:

$$f-r\cos{\theta}=\frac{r}{e}$$

Resolvendo em ordem a $r$, obtem-se:

$$r=\frac{ef}{e\cos{\theta}+1}$$

Supondo que $P$ está à direita da directriz, como na figura, de tal forma que agora $r\cos{\theta}>f$, deduzimos, de forma análoga, que:

$$r=\frac{ef}{e\cos{\theta}-1}$$

Como $r>0$, esta última equação implica que $e>1$, isto é, existem pontos à direita da directriz apenas no caso da hipérbole.

FIGURA ConicasCoordPolares2.jpg

Resumindo:

Seja ${\mathscr{C}}$ uma cónica com excentricidade $e$, foco $F$ na origem das coordenadas, e com uma directriz vertical $d$, situada à direita do foco, a uma deste igual a $f$.

Se $0<e\leq 1$, a cónica ${\mathscr{C}}$ é uma elipse ou uma parábola. Todo o ponto $P$ de ${\mathscr{C}}$ está à esquerda da directriz e satisfaz equação polar:

$$r=\frac{ef}{e\cos{\theta}+1}$$ (2)

Se $e>1$, a cónica é uma hipérbole com um ramo em cada lado da directriz. Pontos do ramo esquerdo satisfazem a equação (2), enquanto que os pontos do ramo direito satisfazem a equação polar:

$$r=\frac{ef}{e\cos{\theta}-1}$$ (3)