4. Reformulação do problema anterior usando acção de um grupo



Consideremos o grupo

$\displaystyle G=\{\hbox{rotações de um hexágono regular}\}$
$ G$é um grupo (ciclíco) com 6 elementos que usualmente se nota por $ C_6$:

$\displaystyle G=C_6=\{e,\rho,\rho^2,\rho^3,\rho^4,\rho^5\}$
onde:
  • $ \rho=R_{60}$ é a rotação de 60º (no sentido horário) do hexágono, em torno do seu centro.
  • $ \rho^2=\rho\circ\rho=R_{120}$ é a rotação de 120º (no sentido horário) do hexágono, em torno do seu centro.
e assim sucessivamente.








O grupo $ G$ actua (à esquerda) no conjunto $ {\mathscr{C}}$ de todas as colorações:

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}

Isto significa que cada elemento $ g$ do grupo transforma uma dada coloração $ c$ numa outra coloração $ gc$ . Esta última define-se por:

$\displaystyle (gc)(v)=c(g^{-1}v)$
isto é, a côr que a coloração $ gc$ atribui ao vértice $ v$ é a côr que tem o vértice $ g^{-1}v$ (o vértice $ v$ antes de `` rodar").


É fácil ver que:

$\displaystyle ec$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c$  
$\displaystyle g(hc)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (gh)c$ (1)

Por exemplo:






Se $ c\in {\mathscr{C}}$ é uma coloração, ao conjunto:

$\displaystyle \hbox{Orb}(c)= G c=\{g c:\, g\in G\}$ (2)

chama-se a órbita de $ c$ , sob a acção do grupo $ G$ .


Por exemplo:







Duas colorações $ c,c'\in{\mathscr{C}}$ são equivalentes se e só se pertencem a uma mesma órbita. Por outras palavras, se e só se existe $ g\in G$ tal que $ c'= g c$ .

Com esta terminologia as órbitas de $ G$ não são mais do que os padrões que definimos na secção anterior.


O conjunto das órbitas (ou padrões) nota-se por:

$\displaystyle {\mathscr{C}}/G$
Como vimos antes, o número de órbitas distintas é:

$\displaystyle \vert{\mathscr{C}}/G\vert=\char93 ({\mathscr{C}}/G)=14$




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