Mais teoria. Acções de grupo

As definições anteriores são válidas num quadro abstracto em que:

é um grupo qualquer que actua sobre um conjunto ${\mathscr{C}}$ .

Por simplicidade vamos supôr que ambos, $ G$

e ${\mathscr{C}}$ , são finitos.

$\vert G\vert=\char93 G$ designa o número de elementos de - a chamada ordem de . No exemplo anterior das rotações do hexágono e $\vert C_6\vert=6$ .

É claro que o tamanho de cada órbita é quando muito igual a $\vert G\vert$ . Mas pode haver elementos $c\in {\mathscr{C}}$ para os quais o tamanho da órbita seja inferior a $\vert G\vert$ .

Por exemplo:

Isto acontece quando existem elementos de $ G$ que deixam $ c$ fixo. No exemplo da figura anterior, as rotações $\rho^2=R_{120}$ e $\rho^4=R_{480}$ obviamente deixam fixa a coloração indicada.

Para formalizar mais isto, definamos:

Definição ... O estabilizador ou subgrupo de isotropia $\hbox{Isotr}(c)\subseteq G$ de um elemento $c\in {\mathscr{C}}$ define-se através de

$\displaystyle \hbox{Isotr}(c)=\{g\in G:\, gc=c\}$

(3)

Por outras palavras, é o conjunto de todas as ``rotações" em $ G$

que deixam fixa a ``coloração" $ c$

É fácil mostrar que:

$\hbox{Isotr}(c)$ é um subgrupo de .
Existe uma correspondência bijectiva entre $G/\hbox{Isotr}(c)$ e a órbita $\hbox{Orb}(c)$ :

$\displaystyle G/\hbox{Isotr}(c) \cong \hbox{Orb}(c)$
Em particular:

$\displaystyle \framebox{$\,\vert\hbox{Orb}(c)\vert\cdot \vert\hbox{Isotr}(c)\vert=\vert G\vert\,$}$ (4)
Se e pertencem à mesma órbita então:

$\displaystyle \vert\hbox{Isotr}(c)\vert=\vert\hbox{Isotr}(c')\vert$
onde, como habitualmente $\vert\hbox{Isotr}(c)\vert$ representa o número de elementos em $\hbox{Isotr}(c)$ .