Colares de pérolas



  • Quantos padrões de colares existem com 6 pérolas brancas ou pretas?
O que é um padrão de colar?


Imaginemos que as pérolas ocupam os vértices de um hexágono regular.   Consideramos de novo o conjunto das colorações $ {\mathscr{C}}$ dos vértices, usando duas cores - branco e preto. Já sabemos que existem as 64 colorações seguintes:









  • No entanto agora a relação de equivalência é diferente -  duas colorações dizem-se equivalentes quando uma pode obter-se a partir da outra por acção de um elemento do grupo das simetrias do hexágono - o chamado grupo diedral $ D_6$ .

  • Mais uma vez uma classe de equivalência de colares coloridos diz-se um padrão. O conjunto dos padrões é pois:


$\displaystyle {\mathscr{C}}/D_6$

  • O grupo diedral $ D_6$ contem, para além das rotações consideradas na secção anterior, as simetrias relativamente às rectas indicadas na figura seguinte.







Estas simetrias representam as rotações espaciais de $ 180^o$ (em torno dessas mesmas rectas, que dão a volta ao colar).

Portanto:

$\displaystyle D_6=\{e,\rho,\rho^2,\rho^3,\rho^4,\rho^5,s_1,s_2,s_3,t_1,t_2,t_3\}$ (10)

  • O leitor pode verificar como exercício que a representação destes elementos como permutações dos vértices do hexágono e a respectiva decomposição em ciclos disjuntos é a seguinte:

\begin{displaymath}\begin{array}{llll\vert\vert lll}
  • O problema agora é calcular $ \vert\hbox{Fix}(g)\vert$ para cada $ g\in D_6$ para podermos aplicar o lema de Burnside e calcular assim o número de padrões de colares com 6 pérolas brancas e pretas.





Calculemos, por exemplo, $ \vert\hbox{Fix}(t_1)\vert= $ número de colorações $ c$ que ficam invariantes sob a acção da simetria $ t_1$ .

Da tabela anterior $ t_1 = (1)(4)(26)(35)$ , o que significa que $ t_1$ deixa fixos os vértices $ 1$ e $ 4$ e permuta os vértices $ 2$ com $ 6$ e $ 3$ com $ 5$ - $ t_1$ é o produto de dois ciclos de comprimento $ 1$ e de dois ciclos de comprimento $ 2$ .

Se $ c$ é uma coloração que fica invariante sob a acção da simetria $ t_1$ , então a côr dos vértices $ 1$ e $ 4$ pode ser qualquer. No entanto os vértices $ 2$ e $ 6$ têm que ter a mesma côr bem como os vértices $ 3$ e $ 5$ . Logo o número de colorações invariantes sob a acção de $ t_1$ é $ 2\cdot 2\cdot 2^2=2^4=16$ .








Em geral, se $ g$ se decompõe em $ c(g)$ ciclos disjuntos, o número de colorações invariantes sob a acção de $ g$ é $ \vert\hbox{Fix}(g)\vert=2^{c(g)}$ .

Da tabela anterior vemos que existe:


1
 permutação $ \{e\}$ composta por 6 ciclos
3 permutações $ \{t_1,t_2,t_3\}$ compostas por 4 ciclos
4 permutações $ \{\rho^3,s_1,s_2,s_3\}$ compostas por 3 ciclos
2 permutações $ \{\rho^2,\rho^4\}$ compostas por 2 ciclos
2 permutações $ \{\rho,\rho^5\}$ compostas por 1 ciclo


Portanto:

$\displaystyle \sum_{g\in D_6}\, \vert\hbox{Fix}(g)\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\cdot 2^6+3\cdot  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 156$  

e, pelo lema de Burnside o número de padrões pretendido é:

$\displaystyle \vert{\mathscr{C}}/D_6\vert=\frac{1}{\vert D_6\vert}\sum_{g\in D_6}
uma vez que $ \vert D_6\vert=12$ .


Existem pois $ 13$ padrões de colares distintos com 6 pérolas brancas e pretas representados na figura seguinte (um colar representativo de cada padrão):









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