I. Nomogramas de cruzamento. Um exemplo - a equação

       Nomogramas são gráficos que servem para representar no plano, equações com várias variáveis, de tal forma que o cálculo das suas soluções se reduz a uma simples leitura efectuada nesse gráfico. A Nomografia ou Teoria dos Ábacos foi desenvolvida essencialmente por Maurice d'Ocagne em fins do século XIX.

       Para uma perspectiva histórica recente consultar H. A. EVESHAM "Origins and Development of Nomography", Annals of the History of Computing, Volume 8, Number 4, October 1986.

       Consideremos por exemplo a equação com três variáveis :

(1)

       Para construir um nomograma para esta equação, podemos começar por representar, relativamente a um sistema de eixos cartesianos , as rectas e e ainda as curvas de nível ( e constantes) (ver a figura 1).

Figura 1: Nomograma da multiplicação

       Dados os valores das variáveis e , digámos e , o valor da terceira variável , para o qual o triplo satisfaz a equação dada (1), isto é, , será o nível da curva de nível que passa pelo ponto de intersecção das rectas e (ver a figura 1, onde representámos a solução ).

        É claro que há outras opções. Podemos, por exemplo, representar, relativamente a um sistema de eixos cartesianos , as rectas e e ainda as curvas de nível correspondentes a valores constantes de , digámos , isto é, o conjunto dos pontos tais que ( e constantes). É claro que estas curvas são as rectas no plano , que passam na origem e têm declive . A leitura da solução faz-se por um processo análogo ao anterior - essa solução corresponde ao ponto de intersecção das rectas , e (ver a figura 2, onde representámos a solução ).

Figura 2: Nomograma para a multiplicação

       No applet seguinte, construído com o programa Cinderella, representámos este segundo nomograma para a multiplicação, usando no entanto escalas diferentes para as variáveis. No applet seleccione com o rato o valor de , e a inclinação da recta . O valor do produto lê-se no eixo , correspondente à recta que intersecta o ponto de encontro das duas rectas e .

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

       Esta última representação tem claramente a vantagem, sobre a primeira, de que o nomograma é constituído apenas por linhas rectas o que, para além de ser mais fácil de construir, permite uma leitura mais simples.

       Podemos ainda obter um nomograma rectilíneo (constituído apenas por linhas rectas) para a equação (1), , por um outro processo. De facto essa equação pode também ser escrita (para valores positivos das variáveis) na forma:

(2)

       Relativamente a um sistema de eixos cartesianos , pômos então , isto é, usámos escalas logarítmicas nos eixos e , e considerámos as curvas de ní vel correspondentes a valores constantes de , , isto é, as linhas rectas (ver a figura 3, onde representámos a solução )

Figura 3: Nomograma para a multiplicação

       A anamorfose (ou rectificação) de um nomograma consiste em transformá-lo num nomograma rectilíneo, constituído por três famílias de linhas rectas, que se intersectam transversalmente, e indexadas pelos valores de , e , respectivamente. A solução da equação dada será pois representada pelo ponto de intersecção das três rectas indexadas por (ver a figura 4, onde representámos a solução ).

Figura 4

       As linhas rectas de cada família não são necessàriamente paralelas entre si. Quando isto acontece os nomogramas dizem-se paralelos e a anamorfose diz-se paralela.