Como Dandelin demonstrou o Teorema de Pascal (I)

O teorema clássico de Dandelin



Teorema 4.1 (Dandelin)   ...

Consideremos uma elipse, obtida como intersecção de um plano $ { \alpha}$ com um cone de revolução $ {\mathscr{C}}$ , e duas esferas tangentes ao plano e ao cone no seu interior.
Então os dois pontos de contacto do plano com as esferas são os focos da elipse.



Um enunciado análogo é válido para a hipérbole e para a parábola, obtidas também como secções cónicas planas de um cone de revolução (veja os enunciados detalhados e as demonstrações correspondentes em LINK).)




Dada uma secção cónica e uma esfera, tangente ao plano dessa secção cónica num dos seus focos, é sempre possível construir um cone tangente a essa esfera e que contem a secção cónica inicial.



De facto, tomando como exemplo uma elipse, a figura anterior ilustra claramente o que há a fazer: seja $ Dd$ o seu eixo maior, $ F$ um foco e $ \beta$ o plano perpendicular ao plano da curva que contém $ Dd$ (o plano do papel). Traçamos por $ F$ o círculo de raio igual ao da esfera dada, tangente ao eixo $ Dd$ . Construímos as duas tangentes ao círculo que passam por $ D$ e $ d$, respectivamente. A intersecção dessas duas rectas será o vértice do cone $ S$ , sendo $ SD$ e $ Sd$ geratrizes do cone.

Hiperbolóide de Revolução


Consideremos uma esfera $ {\mathscr{S}}$ e uma recta $ g$ , tangente e rigidamente fixa à esfera. Rodando a esfera em torno de um dos seus diâmetros, as sucessivas posições da recta $ g$ geram uma superfície que se designa por hiperbolóide de revolução. O cone recto é um caso particular do hiperbolóide de revolução obtido quando a recta considerada intersecta o referido diâmetro (eixo de rotação).

As esferas cujo centro está sobre o eixo de rotação e que são tangentes à recta $ g$ , são também tangentes ao hiperbolóide de revolução ao longo de círculos perpendiculares ao eixo de rotação.


Propriedades do hiperbolóide



 

Consideremos o plano que contém o eixo de rotação e o ponto de tangência da recta $ g$ com a esfera $ {\mathscr{S}}$ . A recta $ g'$ , obtida por reflexão de $ g$ relativamente a esse plano, quando rodada em torno do mesmo eixo de rotação, gera um hiperbolóide que coincide com o que é gerado por $ g$ .

O hiperbolóide é, por isso, uma superfície duplamente regrada - tem dois sistemas de geradores, designados por directo e inverso, respectivamente, com as seguintes propriedades (ver, por exemplo, Salmon G., ``A Treatise on Analytic Geometry of Three Dimensions"):

1.
Por cada ponto do hiperbolóide passam dois geradores, um directo e um inverso.

2.
Cada gerador directo (resp., inverso) intersecta todos os geradores inversos (resp., directos).

3.
Os geradores directos (resp., inversos) nunca se intersectam.

Teorema 4.2   ...

Consideremos duas esferas tangentes a um hiperbolóide de revolução, e um plano $ { \alpha}$ , tangente a essas esferas nos pontos $ F$ e $ f$ .

Então o plano $ { \alpha}$ intersecta o hiperbolóide segundo uma cónica de focos $ F$ e $ f$ .






Demonstração ... Sejam $ O$ e $ o$ os centros das duas esferas. Estas duas esferas tocarão o hiperbolóide em duas circunferências $ C$ e $ c$ . Por qualquer ponto $ m$ , da intersecção do hiperbolóide com o plano $ { \alpha}$, construímos arbitrariamente um gerador. Este será tangente às duas esferas em $ T$ e $ t$ , pontos das circunferências $ C$ e $ c$ . De seguida, construímos por $ m$ as rectas $ mF$ e $ mf$ . Como estas rectas são tangentes à esfera de centro $ O$ e passam ambas por $ m$ resulta que $ \overline{mF}=\overline{mT}$. Analogamente, $ \overline{mf}=\overline{mt}$. Consideremos os dois casos possíveis:

1.
O ponto $ m$ está entre $ C$ e $ c$ , assim como todos os outros pontos da secção cónica.

2.
O ponto $ m$ não está entre $ C$ e $ c$ , assim como todos os outros pontos da secção cónica.

No primeiro caso temos que:

$\displaystyle \overline{mF}+\overline{mf}=\overline{mT}+\overline{mt}=\overline{Tt}$

e no segundo caso temos:

$\displaystyle \overline{mF}-\overline{mf}=\overline{mT}-\overline{mt}=\overline{Tt}$

Mas $ \overline{Tt}$ , ou seja, o comprimento da porção do gerador entre $ C$ e $ c$ é constante, qualquer que seja o ponto $ m$ . Assim, em [1] temos uma elipse de focos $ F$ e $ f$ e em [2] uma hipérbole de focos $ F$ e $ f$ .

Note-se que pode ainda acontecer uma única esfera ser tangente ao plano $ P$ , o que resulta no caso de uma parábola.

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 Teorema 4.3   ...

Dada uma cónica é sempre possível construir um hiperbolóide de revolução que a contém.



Demonstração ... Construímos uma recta $ g$ não pertencente ao plano da cónica e que passe na extremidade do seu eixo maior.

Por cada um dos seus focos construímos uma esfera tangente ao plano da cónica e à recta $ g$ .

Consideremos a recta que una os centros $ O$ e $ o$ das duas esferas construídas. Essa recta será o eixo de revolução.

Fazendo rodar $ g$e as esferas em torno desse eixo de revolução, obtemos um hiperbolóide de revolução. Temos então um hiperbolóide de revolução e duas esferas que lhe são tangentes. Sabemos que existe um único plano tangente a estas duas esferas e que intersecta o eixo de rotação. Esse plano, pela construção das duas esferas, é o plano da secção cónica. Por outro lado, pelo teorema anterior, os pontos de tangência das esferas ao plano são os focos da secção cónica obtida pela intersecção do plano de tangência com o hiperbolóide. Assim, os focos das secções cónicas coincidem e podemos concluir que as cónicas são a mesma.

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