Curvatura


Transporte paralelo


Façamos o transporte paralelo de um vector tangente ao longo de um (pequeno) triângulo geodésico $ {\mathcal{T}}$. Isto significa que o vector, durante o seu movimento, faz sempre um ângulo constante com cada um dos três lados desse triângulo. O movimento faz-se no sentido positivo (anti-horário).

Nas três animações seguintes, mostra-se o transporte paralelo em três situações:

  • no plano

 

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  • Na esfera
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  • no plano hiperbólico
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Holonomia


A Holonomia $ {\mathscr{H}}({\mathcal{T}})$ do triângulo geodésico $ {\mathcal{T}}$ define-se como sendo o menor ângulo orientado formado pela posição inicial do vector com a sua posição final, depois de completado um percurso completo ao longo do perímetro de $ {\mathcal{T}}$ .

É possível mostrar que (Gauss-Bonnet):

$\displaystyle {\mathscr{H}}({\mathcal{T}})={\hbox{Excesso de ${\mathcal{T}}$}}=({ \beta}_1+{ \beta}_2+{ \beta}_3)-\pi$
onde $ { \beta}_1,{ \beta}_2,{ \beta}_3$ são os ângulos internos de $ {\mathcal{T}}$ .

Portanto:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lllll} \hbox{No plano} & &{\mathscr{H}}({\ma... ...}({\mathcal{T}}) &=& {\hbox{Excesso de ${\mathcal{T}}$}} < 0 \end{array}\right.$


Curvatura
de Gauss


A curvatura de Gauss $ K$ , em cada um destes modelos (de curvatura constante) pode ser definida por:

$\displaystyle K = \frac{{\mathscr{H}}({\mathcal{T}})}{\hbox{\'area}({\mathcal{T}})} = \frac{\hbox{Excesso de ${\mathcal{T}}$}}{\hbox{\'area}({\mathcal{T}})} $

Não depende do triângulo geodésico. Portanto:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll} \hbox{No plano} & & K=0\nonumber\\ \hbo... ...& & K=+1 \nonumber\\ \hbox{No plano hiperb\'olico} & & K=-1 \end{array}\right.$
Mais efeitos da curvatura




Plano
Esfera
Curvatura negativa



Rectas perpendiculares
a uma mesma recta
são paralelas		 Geodésicas perpendiculares
a uma mesma linha
convergem		 Geodésicas perpendiculares
a uma mesma linha
divergem
A soma dos ângulos internos
de um triângulo geodésico
é igual a$ \pi$		 A soma dos ângulos internos
de um triângulo geodésico
é superior a$ \pi$		 A soma dos ângulos internos
de um triângulo geodésico
é inferior a$ \pi$
O perímetro de um círculo
de raio $ R$
é igual a $ 2\pi R$
 		O perímetro de um círculo
de raio $ R$
 é inferior a $ 2\pi R$		 O perímetro de um círculo
de raio $ R$
 é superior a $ 2\pi R$
Curvatura K=0
 Curvatura K=+1 Curvatura K<0











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