Consequências do

Princípio de Equivalência



 Em 1911 Einstein deduziu várias consequências do seu Princípio de Equivalência.

"Redshift" 

gravitacional


Considere a seguinte experiência conceptual: luz de frequência $ f$ é emitida do chão de uma nave de altura $ h$ , que se move com uma aceleração linear constante $ g$ , dirigida para cima, no espaço exterior, longe de qualquer campo gravitacional.

A luz é detectada por um receptor, estacionado no topo da nave. Que frequência é que ele mede ?


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Note que o receptor não é um observador de inércia. Como podemos pois dizer algo àcerca das suas medições? Einstein assumiu a hipótese, válida em primeira aproximação para acelerações fracas, que toda a medição feita por um observador acelerado é a mesma da que é obtida por um observador de inércia, que tem a mesma velocidade no instante e local em que é feita a medição.

Sendo assim, seja $ {\mathscr{R}}$ um referencial de inércia no qual o emissor está  momentâneamente em repouso, no instante em que emite o raio luminoso, e $ {\mathscr{R}}'$ um referencial de inércia no qual o receptor está em repouso quando a luz é detectada.

É claro que emissor e receptor afastam-se um do outro. Portanto, de acordo com a teoria do efeito Doppler, a frequência $ f'$ , medida pelo receptor, é inferior a $ f$ . O receptor detecta pois um desvio para o vermelho (redshift). Como se viu antes:

$\displaystyle f'=f\, \sqrt{\frac{1-{V}/c}{1+{V}/c}}\,\approx\, f\,(1-{V}/c)$ (17)

aproximação válida para baixas velocidades $ V<< c$ . Em primeira aproximação, o tempo $ \Delta t$ que a luz demora a percorrer a distância $ h$ , é igual a:

$\displaystyle \Delta t=h/c$
Durante esse intervalo de tempo $ \Delta t$ , muito pequeno, o topo do elevador aumentou a sua velocidade de:

$\displaystyle V=g \Delta t=gh/c$

Portanto, na aproximação acima considerada, a frequência $ f'$ medida pelo receptor é:

$\displaystyle f'=f\,(1-gh/c^2)$

De acordo com o Princípio de Equivalência, o mesmo efeito deve ser observado se o elevador, em vez de estar acelerado, está sob a acção de um campo gravitacional dirigido para baixo. Como o receptor está, neste caso, sempre em repouso relativamente ao emissor, ele não pode atribuir o reshift ao efeito Doppler. Deve sim interpretá-lo como um efeito da gravidade. Concluímos pois:
Redshift e Blueshift gravitacional
a luz sofre um desvio para o vermelho quando se move na direcção contrária à de um campo gravitacional. Luz que se move na direcção de um campo gravitacional sofre um desvio para o azul.


Dilatação gravitacional do tempo


Vamos comparar dois relógios $ A$ e $ B$ , o primeiro colocado no topo e o segundo na base de um foguetão, quando este acelera para cima (figura 11). Vamos ver que, para um astronauta sentado na base do foguetão, medindo o tempo de acordo com o relógio $ B$, o relógio $ A$ parece andar mais depressa do que o seu relógio $ B$ .



Figura 11


(applett construído com Flash por Vanessa Oliveira)

Para ver isto, imaginemos que o relógio $ A$ emite um pulso de luz por segundo, e suponhamos que o nosso astronauta está na base do foguetão a comparar os instantes de chegada desses sucessivos pulsos com os tics do seu relógio $ B$ .

No instante 0 , o relógio $ A$ emite o primeiro pulso em direcção a $ B$ . Entretanto o foguetão sobe um pouco, e esse pulso, depois de percorrer uma distância $ L$ , atinge $ B$ , quando este está na posição $ B'$ (figura 11).

No segundo seguinte, $ A$ , que agora ocupa a posição $ A''$ emite o próximo pulso em direcção a $ B$ . O foguetão sobe mais ainda, e este segundo pulso, depois de percorrer uma distância $ \ell$ , atinge $ B$ , quando este está na posição $ B'''$ (figura 11).

É claro que $ \ell<L$ , uma vez que o foguetão acelera e tem por isso mais velocidade no instante da emissão do segundo pulso.

Portanto, os dois pulsos que foram emitidos por $ A$ , separados por um intervalo de tempo de $ 1$ segundo,  chegam a $ B$ com um intervalo ligeiramente inferior a $ 1$ segundo,  já que o segundo pulso não demora tanto tempo na viagem. O mesmo acontece para todos os pulsos seguintes.

Por outras palavras, o astronauta na base do foguetão concluirá que o relógio $ A$ anda mais depressa do que o seu relógio $ B$ .

Se o astronauta estivesse no nariz do foguetão, observando agora, junto de $ A$ , pulsos emitidos de $ B$ , ele concluiria que o relógio $ B$ anda mais devagar do que $ A$ .






Pelo Princípio de Equivalência, o mesmo se passa quando o foguetão está estacionado à superfície da Terra, sujeito pois ao campo gravitacional terrestre. Como neste caso, $ B$ está mais perto do corpo gravitacional do que $ A$, concluímos que:
Dilatação gravitacional do tempo

Relógios mais próximos de um corpo massivo andam mais devagar do que os relógios mais afastados.


Este fenómeno da dilatação gravitacional do tempo complica a atribuição de coordenadas temporais a acontecimentos, na presença de um campo gravitacional. De facto, em Relatividade Restrita, a coordenada temporal de um acontecimento, num dado referencial de inércia, define-se pela leitura de um relógio em repouso, relativamente a esse referencial, e situado no mesmo local desse acontecimento. Como temos a possibilidade de sincronizar todos os relógios num dado referencial de inércia, este processo atribui de forma unívoca um valor para a coordenada temporal de cada acontecimento.

Mas, num campo gravitacional, os relógios em diferentes locais marcam o tempo de forma diferente, i.e., os tics dos relógios são diferentes conforme o local onde eles se encontram. Portanto eles não podem ser sincronizados. Como podemos então comparar as coordenadas temporais de acontecimentos que ocorrem em locais distintos ?

Suponhamos que se pretende fazer um rectângulo no espaço-tempo. Começamos por usar um diagrama "altura $ h$ versus tempo $ t$ ". Como base do nosso rectângulo tomamos um objecto $ B$ em repouso, situado à altura $ h_1$ , e seguimos a sua linha de universo durante $ 100$ segundos. Obtemos assim uma linha $ BD$ paralela ao eixo dos $ tt$  (figura 12).

Tomemos agora um segundo objecto que está mais alto $ 100$ metros do que $ B$ , no instante $ t=0$ . Começando em $ A$ seguimos a sua linha de universo durante $ 100$ segundos, mas agora medidos de acordo com um relógio em $ A$ . Obtemos a linha $ AC$ . No entanto como o tempo anda diferentemente às duas altitudes, os dois pontos $ C$ e $ D$ não são simultâneos. Portanto o espaço-tempo é curvo (figura 12).



Figura 12
\begin{figure}\begin{center}\framebox{\epsfysize=6cm \epsfxsize=8cm \epsffile{ETCurvo.eps}}


Para agravar esta situação, veremos em breve que a própria geometria é ela própria alterada pela presença de um campo gravitacional (veja a discussão sobre o disco rotativo)! Como podemos então definir coordenadas espaciais para acontecimentos no espaço-tempo?

 



A resposta é Geometria Riemanniana (1826-1866).



Deflexão da luz num campo gravitacional


Considere a seguinte experiência conceptual:  um pulso de luz é emitido de um ponto $ P$ , numa direcção perpendicular ao movimento de uma nave, que se move com uma aceleração linear constante $ g$ , dirigida para cima, no espaço exterior, longe de qualquer campo gravitacional (figura 13).


 Figura 13


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

(applett construído com Flash por Vanessa Oliveira)

No instante em que a luz atinge a outra parede mais afastada, o elevador subiu uma certa distância. A luz atinge essa parede num certo ponto $ Q$ , que está mais abaixo do que o ponto $ P$ . A diferença de elevação entre $ P$ e $ Q$ é a distância que o elevador percorreu enquanto a luz estava em trânsito de $ P$ para $ Q$ .

Um astronauta dentro da nave observa pois que o pulso de luz descreve uma trajectória parabólica.

Figura 14
\begin{figure}\begin{center}\framebox{\epsfysize=6cm \epsfxsize=8cm \epsffile{Mook3A.eps}}


Pelo Princípio de Equivalência, o mesmo será observado pelo astronauta quando a nave não acelera mas está em repouso à superfície da Terra.

Figura 15
\begin{figure}\begin{center}\framebox{\epsfysize=6cm \epsfxsize=10cm \epsffile{Mook3AA.eps}}


Ver o teste real da deflexão da luz solar, durante o eclipse de 1919.

Figura 16
\begin{figure}\begin{center}\framebox{\epsfysize=5cm \epsfxsize=9cm






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