Princípio da Equivalência

Massa de inércia e massa gravitacional


Massa de inércia


A massa de inércia, $ m_I$ , de um corpo é uma medida da sua inércia, isto é, da resistência que ele oferece à mudança do seu movimento. É a massa que surge na primeira equação de Newton:

$\displaystyle \framebox{\,$F=m_I\cdot a\,$}$ (12)

que relaciona a força total, que actua sobre o corpo, com a aceleração resultante.
Massa gravitacional


Se o corpo está sob a acção de um campo gravitacional, criado por um outro corpo esférico de massa (gravitacional) $ M_g$ (uma estrela, por exemplo), cujo centro está a uma distância $ r$ do primeiro, a força gravitacional, $ F_g$ , que actua sobre o primeiro corpo, é determinada pela sua massa gravitacional, $ m_g$ , e é dada pela lei de atracção universal de Newton:

$\displaystyle \framebox{$\,F_g=G\,\frac{m_g\,M_g}{r^2}\,$}$ (13)

onde $ G$ é uma constante universal: $ G=6.67\times 10^{-11}m^3/(Kg) (seg)^2$ .


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Portanto, a massa gravitacional mede a resposta de um objecto à atracção gravitacional. Podemos ver estas massas gravitacionais como fontes que geram força gravitacional, ou ainda como "cargas" gravitacionais que se atraiem uma à outra.

A massa de inércia $ m_I$ e a massa gravitacional $ m_g$ de um corpo, podem, à priori, ser diferentes e variar com a substância de que ele é feito.
Princípio da Equivalência de Newton


 
Para comparar estas duas noções de massa, consideremos como a gravidade terrestre actua sobre um corpo situado à superfície da terra. Neste caso, $ r$ será igual à distância entre o corpo e o centro da terra e $ M_g$ a massa gravitacional da terra. $ M_g$ e $ r$ são pois constantes. A força gravitacional $ F_g$ , dada por (13), que actua sobre o corpo, é portanto proporcional à sua massa gravitacional $ m_g$ :

$\displaystyle \framebox{$\,F_g=Km_g, \ \ \ \ \ \hbox{onde} \ \ \ K=GM_g/r^2\equiv\hbox{constante}\,$}$ (14)

Mas a segunda lei de Newton (12), diz que essa força é também igual a $ m_Ig$, onde $ m_I$ é a massa de inércia do corpo e $ g$ a aceleração devida à gravidade. Portanto:
$\displaystyle Km_g=F_g=m_Ig \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ g=K\frac{m_g}{m_I}$ (15)

Se existissem dois corpos para os quais $ m_g/m_I$ fossem diferentes, então $ g$ também seria e os tais dois corpos caíriam com acelerações distintas. Mas isso nunca foi observado! Aliás, é célebre a experiência realizada por Galileu no cimo da torre de Pisa!

Figura: Todos os corpos caiem com a mesma aceleração num campo gravitacional dado.
\begin{figure}\begin{center}\framebox{\epsfysize=8cm \epsfxsize=12cm \epsffile{Galileu.eps}}


Newton postulou que a razão, $ m_g/m_I$ , entre as duas massas de um mesmo corpo, é independente da substância de que ele é feito. Escolhendo convenientemente as unidades podemos até supôr que:

$\displaystyle \framebox{$\,m_I=m_g \,$}$ (16)

Este postulado tem o nome de Princípio da Equivalência de Newton.

A queda livre de corpos no vazio suporta experimentalmente este postulado - todos os corpos caiem com a mesma aceleração num campo gravitacional dado.
Novamente o Princípio da Equivalência



A lei de atracção universal confere pois à força de atracção gravitacional uma característica única entre todas as forças conhecidas na Natureza.

De facto, enquanto que uma força qualquer $ F$, quando actua num corpo, comunica-lhe uma aceleração, $ a$ , que depende da sua massa $ m_I$:
$ a=F/m_I$

a força de atracção gravitacional, criada por uma massa $ M_g$ , comunica a esse corpo uma aceleração que não depende da sua massa:
$ a=g=GM_g/r^2$

já que $ m_g=m_I$.

A aceleração da gravidade é portanto a mesma para todos os corpos - a força gravitacional ajusta-se de alguma forma à massa de cada corpo sobre o qual actua, de tal forma que a todos imprime a mesma aceleração!  É esta aliás a propriedade notável do campo gravitacional, que torna possível criá-lo artificialmente.

Corpos em queda livre, isto é, sujeitos apenas à acção da gravidade, caiem lado a lado, todos com a mesma aceleração.

Mas, como já vimos na secção anterior, podemos simular exactamente a mesma situação, por exemplo, no interior de uma nave, fora da influência de qualquer campo gravitacional, cujos motores a impulsionam numa direcção fixa com uma aceleração constante. Corpos em queda livre dentro da nave sofrem todos uma mesma aceleração na direcção oposta. Portanto, num referencial ligado à nave, criámos um campo gravitacional.

Podemos até neutralizar um campo gravitacional. Isto é o que acontece nos aviões $ g=0$ , usados em experiências para testar ausência de peso. De 20 em 20 segundos, eles voam como um projéctil que é disparado para cima e depois cai sob a acção da gravidade terrestre. Dentro do avião, objectos que se movem livremente, caiem exactamente como o avião, à mesma razão. Portanto, relativamente a um referencial ligado ao avião, eles exibem aceleração nula. Eles flutuam. A gravidade terrestre foi cancelada ou neutralizada e atinge-se o ponto $ g=0$ .



Mas regressemos ao Princípio da Equivalência de Newton: $ m_I=m_g $. Como explicar esta igualdade entre massa de inércia $ m_I$ e a massa gravitacional $ m_g$ ? Newton constatou um facto experimental e, de seguida, elevou-o à categoria de postulado. Mas não deu uma explicação para isso!

A explicação de Einstein está mais uma vez no seu:

Princípio da Equivalência ... Um campo de gravitação é localmente equivalente a um campo de aceleração. Um referencial acelerado e um campo de gravitação, que aponta na direcção contrária à da aceleração, são equivalentes. Não existe maneira de distinguir as duas situações!


Imaginemos um corpo de massa $ m$ suspenso por uma mola, presa à parte superior de uma caixa (um elevador, por exemplo). Um observador dentro da caixa vê subitamente a mola alongar-se. O acréscimo da tensão da mola indica que o corpo foi puxado.


\begin{figure}\begin{center}\framebox{\epsfysize=6cm \epsfxsize=12cm


Existem duas explicações possíveis:

E1.
a caixa está imóvel sobre a terra - o corpo sofre a influência do campo gravitacional $ {\bf g}$ , e a mola sofre um alongamento $ L$.
E2.
a caixa está suficientemente afastada da terra, longe da influência de qualquer campo gravitacional, e é submetida a uma aceleração linear uniforme $ -{\bf g}$. A mola sofre um alongamento idêntico $ L$ .

Os efeitos de um campo gravitacional e de um campo de aceleração são pois os mesmos e um observador, situado no interior da caixa, não tem maneira de distinguir entre as duas situações acima descritas. Em E1. (campo gravitacional), o alongamento da mola é determinado pela massa gravitacional $ m_g$ do corpo. Por outro lado, em E2. (campo de aceleração), esse mesmo alongamento é determinado pela sua massa de inércia $ m_I$ . Como o alongamento nos dois casos é o mesmo, sômos levados a concluir que $ m_g=m_I$ . E isto acontece qualquer que seja o corpo.

 É esta a explicação dada por Einstein para a igualdade $ m_I=m_g $ !





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