Relatividade Restrita - Uma introdução

Transformação de Lorentz




Seja $ A$ um acontecimento e suponhamos que:

  • $ (x,t)=$ coordenadas de $ A$ relativamente a um referencial $ {\mathscr{R}}$ .
  • $ (x',t')=$ coordenadas de $ A$ relativamente a um referencial $ {\mathscr{R}}'$ , em movimento uniforme com velocidade $ V$ , relativamente a $ {\mathscr{R}}$ .















A figura torna claro que (justifique):

$\displaystyle x=Vt+\frac{x'}{\gamma}$ (39)

ou:
$\displaystyle x'=\gamma\cdot(x-Vt)$ (40)

Anàlogamente, se deduz que:

$\displaystyle x'=\frac{x}{\gamma}-Vt'$ (41)

ou:
$\displaystyle x=\gamma\cdot(x'+Vt')$ (42)

Eliminando $ x'$ nas equações (40) e (42), obtem-se:

$\displaystyle t'=\gamma\cdot\left(t-\frac{V}{c^2}\, x\right)$ (43)

enquanto que eliminando $ x$ nas mesmas equações se obtem:
$\displaystyle t=\gamma\cdot\left(t'+\frac{V}{c^2}\,x'\right)$ (44)

Estas duas últimas equações substituem a equação simples $ t'=t$ da relatividade de Galileu (tempo absoluto).


Resumindo:


$\displaystyle \framebox{$\, \left\{\begin{array}{lll} x'&=& \gamma\cdot (x-V t)... (45)

Em muitas situações o mais importante é o intervalo de tempo entre dois acontecimentos $ A_1=(x_1, t_1)=(x'_1, t'_1)$ e $ A_2=(x_2, . Usando as fórmulas anteriores, obtemos:

$\displaystyle \Delta t'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle t'_2-t'_1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma\cdot  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma\cdot  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma\cdot \left( \Delta t-\frac{V \ }{c^2}\,\Delta x (46)

onde pusemos:

$\displaystyle \Delta x=x_2-x_1$
Anàlogamente:
$\displaystyle \Delta x'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x'_2-x'_1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma\cdot(x_2-V t_2 -x_1+Vt_1)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma\cdot(\Delta x-V\cdot\Delta t)$ (47)

Um cálculo simples mostra que:
$\displaystyle -c^2(\Delta t')^2+(\Delta x')^2=-c^2(\Delta t)^2+(\Delta x)^2$ (48)

donde se deduz que:
$\displaystyle \framebox{$\,\Delta\tau^2\equiv -c^2 \Delta t^2+\Delta x^2\,$}$ (49)

(onde pusemos $ \Delta t^2=(\Delta t)^2$ , etc...) é um invariante das transformações de Lorentz, a que se chama a separação (espaço-temporal) entre os dois acontecimentos $ A_1$ e $ A_2$ .
Consequências:


  • Relatividade da simultaneidade ... Acontecimentos espacialmente separados e que são simultâneos num certo referencial $ {\mathscr{R}}$ , nunca são simultâneos quando descritos num outro referencial $ {\mathscr{R}}'$ que se move com velocidade constante $ V$ relativamente ao primeiro.


    Dados: $ \Delta t=0$ e $ \Delta x\neq 0$ .

    Portanto:

    $\displaystyle -c^2 \Delta t'^2+\Delta x'^2= -c^2 \Delta t^2+\Delta x^2=\Delta

    donde:

    $\displaystyle -c^2 \Delta t'^2 = \Delta

    O segundo membro é zero sse $ \Delta x^2=\Delta o que só pode ocorrer quando $ \beta=V/c=0$ .

    Por outro lado, por (46):

    $\displaystyle \Delta t' = \gamma\, \left(\Delta t-\frac{V\Delta x}{c^2}\right)=\gamma \beta\frac{\Delta

  • Dilatação do tempo ... Se dois acontecimentos ocorrem no mesmo local, relativamente a um referencial $ {\mathscr{R}}$ , a sua separação temporal, medida por observadores ligados a esse referencial (intervalo de tempo próprio) $ ({\Delta t})_{\hbox{\small {tempo pr\'oprio}}}$ , é menor do que a separação temporal entre esses mesmos acontecimentos, medida por observadores ligados a um outro referencial $ {\mathscr{R}}'$ que se move com velocidade constante $ V$ relativamente ao primeiro.


    Dados: $ \Delta t\neq 0$ e $ \Delta x= 0$ .

    Portanto:

    $\displaystyle -c^2 \Delta t'^2+\Delta x'^2= -c^2 \Delta t^2+\Delta x^2= -c^2 \Delta t^2$

    donde:

    $\displaystyle \Delta t'^2 - \Delta t^2 = \Delta x'^2/c^2>0 \ \ \ \ \ \Rightarrow

    Por outro lado, por (47):

    $\displaystyle \Delta x'= \gamma\,(\Delta x-V \Delta t)= \gamma\cdot\Delta x$

    como já tínhamos visto (contracção do comprimento).

  • Fórmula da adição de velocidades ...

    Consideremos uma partícula que se desloca com velocidade constante $ v$ , medida relativamente a um referencial $ {\mathscr{R}}$ , com equação de movimento:

    $\displaystyle x=vt$ (50)

    Transformando esta equação nas coordenadas $ (x',t')$ , relativas a um outro referencial $ {\mathscr{R}}'$ que se move com velocidade constante $ V$ relativamente ao primeiro, usando (40) e rearranjando termos, obtem-se:
  •  
    $\displaystyle x'=\frac{v-V}{1-\frac{vV}{c^2}}t'$ (51)

    que descreve novamente um movimento com velocidade constante $ v'=x'/t$ dada por:
    $\displaystyle \framebox{$\, v'=\frac{v-V}{1-\frac{vV}{c^2}}\,$}$ (52)

    No limite não relativista, com ambas as velocidades $ v$ e $ V$ muito menores do que $ c$ , esta fórmula reduz-se à forma de Galileu $ v'=v-V$ .

    Note ainda que se $ v=c$ então:

    $\displaystyle v'=\frac{c-V}{1-\frac{cV}{c^2}}=c$





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