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Relatividade Restrita - Uma introdução

Efeito Doppler

Os efeitos Doppler para o som e para a luz diferem num ponto crucial - as ondas sonoras propagam-se num meio (ar), enquanto que as luminosas não (não existe o éter).

Portanto, no caso sonoro, podemos distinguir o movimento do emissor do do receptor (observador) - "emissor em movimento" ou "receptor em movimento" significa sempre movimento relativo ao meio.

No caso luminoso não existe uma tal distinção. A única coisa com significado é o movimento relativo do emissor e do receptor.

Suponhamos então que um emissor ${\mathcal{E}}$ emite luz. Para visualizarmos a onda luminosa, representá-mo-la por uma sucessão regular de pulsos pontuais, emanando de ${\mathcal{E}}$ (ver o applett).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Suponhamos que a frequência da onda, medida no referencial de repouso, ${\mathscr{R}}$ , do emissor, é:

$ f$ = número de pulsos pontuais que passam numa certa secção fixa de ${\mathscr{R}}$ , por unidade de tempo (segundo, por exemplo).

Dois pulsos consecutivos distam ${ \lambda}$ um do outro, isto é, ${ \lambda}$ é o respectivo comprimento de onda (medido em ${\mathscr{R}}$ ).

A luz é detectada por um observador (receptor) ${\mathcal{O}}$ , que se afasta do emissor ${\mathcal{E}}$ com uma velocidade relativa $ {V}$ .

Pretendemos calcular a frequência $ f'$ detectada pelo receptor, isto é, o número de pulsos que o atingem por segundo, medida no seu referencial de repouso ${\mathscr{R}}'$ .

O applett seguinte mostra a experiência descrita no referencial de repouso ${\mathscr{R}}$ do emissor.
No instante o pulso atinge o receptor (acontecimento ) e no instante o pulso seguinte atinge o receptor (acontecimento ), que entretanto se afastou do emissor uma distância igual a $$ {V}\,$ , onde ${\Delta t}=t_2-t_1$ é o intervalo entre os acontecimentos e (medido em ${\mathscr{R}}$ ).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A distância entre os pulsos e é igual ao comprimento da onda ${ \lambda}$ que, por sua vez, é igual a:

$\displaystyle { \lambda}=c/f$ (29)

(medido em ${\mathscr{R}}$ ).
No intervalo de tempo ${\Delta t}$ cada pulso moveu-se $$ c\cdot$ . Portanto (ver o applett):

$\displaystyle c\cdot{\Delta t}={ \lambda}+{V}\cdot{\Delta t}$ (30)

isto é:

$\displaystyle {\Delta t}=\frac{{ \lambda}}{c-{V}}=\frac{1}{f\cdot(1-{V}/c)}$ (31)

Se o receptor se aproxima do emissor, uma análise semelhante mostra que:

$\displaystyle {\Delta t}=\frac{{ \lambda}}{c+{V}}=\frac{1}{f\cdot(1+{V}/c)}$ (32)

É claro que o que nos interessa é o intervalo $\Delta t'$ entre os acontecimentos e , medido agora no referencial de repouso ${\mathscr{R}}'$ do receptor. Como os acontecimentos e ocorrem no mesmo local de ${\mathscr{R}}'$ (ver o applett), sabemos que $\Delta t'$ é o intervalo de tempo próprio e, por isso:

$\displaystyle \Delta t'=\Delta t/\gamma$ (33)

A frequência é o recíproco de $\Delta t'$ , e portanto, usando as fórmulas anteriores, obtemos:

$\displaystyle f'=\frac{1}{\Delta t'}=\gamma \cdot f\cdot(1\mp{V}/c)$ (34)

onde o sinal - se refere ao caso em que o receptor e o emissor se afastam e o sinal + ao caso em que se aproximam.
Uma pequena manipulação algébrica permite finalmente escrever as fórmulas seguintes do efeito de Doppler:

$\displaystyle \framebox{$\, f'=f\cdot \sqrt{\frac{1-{V}/c}{1+{V}/c}} \ \ \ \ \ \ \hbox{(receptor e emissor afastam-se)}$}$ (35)

e:

$\displaystyle \framebox{$\, f'=f\cdot \sqrt{\frac{1+{V}/c}{1-{V}/c}} \ \ \ \ \ \ \hbox{(receptor e emissor aproximam-se)}$}$ (36)