O que é a nomografia?

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       Vejamos um outro exemplo - o nomograma da equação cúbica

$\displaystyle \framebox{$\ \ z^3+xz+y=0\ \ $}$ (5)

       O problema consiste em determinar os valores de $ z$ que satisfazem essa equação, supondo conhecidos os valores dos coeficientes $ x$ e $ y$. Portanto, cada par $ (x,y)$ representa uma equação do terceiro grau do tipo (5), e o nomograma permitirá calcular (por leitura gráfica) as soluções$ z$ dessa equação.

       De acordo com o método geral acima descrito, podemos construir um nomograma pondo:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{llrrr} { \alpha}(X,Y;x) &=& X- x &=& 0 \\ (6)

     Relativamente a um sistema de eixos cartesianos $ OXY$, as duas primeiras famílias representam as rectas horizontais e verticais, respectivamente, $ X=x$ (constante) e $ Y=y$ (constante). Portanto, o ponto do plano de coordenadas $ (X=x,Y=y)$ representa a equação do terceiro grau (5). A terceira família representa uma família de rectas (não paralelas) - para cada $ z$ temos a recta de equação $ zX +Y+z^3 = 0$, no plano $ OXY$.

       Dada uma equação do terceiro grau (5), com coeficientes $ x$ e $ y$, representada pelo ponto de coordenadas $ (X=x,Y=y)$, as suas soluções são dadas pelos valores de $ z$ correspondentes às rectas que passam em $ (x,y)$ (ver a figura 5, onde representámos uma equação cujas soluções são $ z=-0.9,0.1$ e $ 0.8$).

Figure 5:
\begin{figure}\par


       A família de rectas $ \{zX +Y+z^3 = 0\}$, parametrizada por $ z$, envolve uma curva $ {\mathscr{E}}$ cuja equação é determinada eliminando o parâmetro $ z$ nas equações:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{llr} zX +Y+z^3 &=& 0 \\
      A curva $ {\mathscr{E}}$ tem equações paramétricas
$\displaystyle \left\{\begin{array}{llr} Y&=& 2z^3 \\
e é portanto a cúbica de equação:
$\displaystyle 4X^3+27Y^2=0$ (7)


       A cúbica envolvente $ {\mathscr{E}}$ determina duas regiões conexas no plano $ OXY$. Pontos na região (I) representam equações com 3 soluções reais - por cada ponto da região (I) podemos traçar 3 rectas tangentes a $ {\mathscr{E}}$. Pontos na região (II) representam equações com uma solução real - por cada ponto da região (II) podemos traçar uma única recta tangente a $ {\mathscr{E}}$.

        Existirá uma anamorfose paralela que transforme este nomograma num nomograma rectilíneo paralelo?

        Uma discussão análoga permite construir nomogramas para equações do tipo:

$\displaystyle z^n+xz^m+y=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\geq (8)



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Joao Nuno Tavares 2005-03-28