O que é a nomografia?

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IV. Nomogramas rectílineos

Consideremos de novo o nomograma de cruzamento de uma equação com três variáveis

$\displaystyle F(x,y,z)=0$

(9)

construído com três famílias de curvas definidas implicitamente pelas equações:

$$\displaystyle \left\{\begin{array}{llr} { \alpha}(X,Y;x)&=& 0 \\$

(10)

Como vimos, se eliminarmos $ X$

e

nestas três equações, obtemos a equação dada $ F(x,y,z)=0$

.

Suponhamos agora que essas três famílias são famílias de rectas:

$$\displaystyle \framebox{$ \ \ \left\{\begin{array}{lllll} { \alpha}(X,Y;x)&=& a...$

(11)

Eliminando $ X$

e

nestas três equações, obtemos a equaçãodada $ F(x,y,z)=0$

, que é agora do tipo:

$$\displaystyle \framebox{$ \ \$

(12)

que traduz a condição de que, para cada $ x,y,z$

fixos, as três rectas correspondentes se intersectam num mesmo ponto $ (X,Y)$

, isto é, que o sistema linear (11) tem solução.

Uma classe especial de equações do tipo (12) é dada por:

$$\displaystyle F(x,y,z)=$

isto é:

$\displaystyle \framebox{$ \ \ \ell(x)a(z)+m(y)b(z)+c(z)\, =\, 0\ \ $}$

(13)

a que correspondem as famílias de rectas:

$$\displaystyle \left\{\begin{array}{rll } X &=& \ell(x) \\$

(14)

Neste caso, estámos a usar escalas funcionais $X=\ell(x)$ e $ Y=m(y)$

, respectivamente nos eixos dos $ X$

e

.

É claro que a equação cúbica (5) é do tipo (13), com $\ell(x)=x, m(y)=y$ e $ a(z)=z,b(z)=1, . Um outro exemplo do tipo (13) é a equação:

$\displaystyle \framebox{$ \ \ x^n+y^n-z^n=0 \ \ $}$

(15)

para

positivos, e $n\geq 2$ inteiro. Aqui $\ell(x)=x^n, m(y)=y^n$ e $ a(z)=1,b(z)=1,

. O nomograma correspondente (neste caso paralelo), é construído com as três famílias de rectas paralelas:

$$\displaystyle \left\{\begin{array}{rll } X &=& x^n \\$

(16)

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Joao Nuno Tavares 2005-03-28