O que é a Nomografia?

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       Transformemos por dualidade o nomograma da equação cúbica

$\displaystyle z^3+xz+y=0$ (25)

definido pontualmente no plano $ {\mathscr{P}}$, pelas famílias de rectas:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{rrr} X &=& x \\ (26)

       Relativamente às coordenadas paralelas $ (u,v)$, as duas primeiras famílias correspondem por dualidade às duas pontuais no plano $ {\mathscr{P}}^*$:
 

$\displaystyle \left\{\begin{array}{rrr}U &=& u= x \\
que são as rectas $ AU$ e $ BV$, respectivamente. A terceira família representa uma família de rectas (não paralelas) - para cada $ z$ temos a recta de equação $ zX +Y+z^3 = 0$, no plano $ {\mathscr{P}}$, a que corresponde por dualidade o ponto, de $ {\mathscr{P}}^*$, de equação:
 
$\displaystyle zU +V+z^3 = 0$

       Quando $ z$ varia estes pontos descrevem uma pontual que, nas coordenadas $ X^*,Y^*$, em $ {\mathscr{P}}^*$, tem por equações paramétricas:

$\displaystyle X^*$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \frac{z-1}{z+1}$  
$\displaystyle Y^*$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \frac{z^3}{z+1}$ (27

       Recordemos que cada ponto do plano $ {\mathscr{P}}$, de coordenadas $ (X=x,Y=y)$, representava a equação do terceiro grau, em $ z$, $ z^3+xz+y=0$. Por outras palavras, a intersecção das rectas $ X=x$ e $ Y=y$, das duas primeiras famílias, representa a equação $ z^3+xz+y=0$. As soluções desta equação são dadas pelos valores de $ z$ correspondentes às rectas da terceira família que passam em $ (x,y)$.

       Por dualidade, a descrição correspondente no plano $ {\mathscr{P}}^*$ é a seguinte: a recta que une os pontos $ U=u=x$ e $ V=v=y$, das duas primeiras famílias de pontuais, isto é, a recta $ (u,v)$, representa agora a equação $ z^3+uz+v=0$. As soluções desta equação são dadas pelos valores de $ z$ dos pontos de intersecção da pontual (27) com a recta $ (u,v)$.



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Joao Nuno Tavares 2005-03-28