Fórmula de Euler


 Consideremos uma figura plana $ {\mathscr{P}}$ poligonal simples (sem "buracos"), constituída por polígonos (faces), em número finito, colados pelas respectivas arestas, de tal forma que duas faces quaisquer, quando se intersectam, o fazem, ou segundo um vértice comum, ou segundo uma aresta comum.

Eis um exemplo:

Se $ F$ representa o número de faces, $ A$ o número de arestas e $ V$ o número de vértices, então é válida a chamada fórmula de Euler seguinte:

$\displaystyle F-A+V=1$ (4)

A expressão $ F-A+V$ designa-se por característica de Euler de $ {\mathscr{P}}$ e nota-se $ \mathcal{X}({\mathscr{P}})$ . Deste modo, a característica de Euler de uma figura plana poligonal simples (sem "buracos"), é igual a 1.






Eis uma demostração que se deve a Cauchy:

  • Comecemos por triangular $ {\mathscr{P}}$ (é sempre possível!). Para isso, em cada face que não seja já um triângulo, desenhamos uma diagonal. Note que isto não altera a característica de Euler de $ {\mathscr{P}}$. De facto, ao acrescentar uma diagonal, $ A$ e $ F$ aumentam uma unidade cada e, portanto, a soma $ V - A + F$ mantem-se inalterada.
  • Cada triângulo pode ter 0, 1 ou 2 arestas livres.
  • Quando retiramos um dos triângulos com uma aresta livre, o número de faces de $ {\mathscr{P}}$ diminui de uma unidade bem como o número de arestas. Mas como:

    $\displaystyle V - (A - 1) + (F - 1) = V - A + F$
    a soma $ V - A + F$ mantem-se inalterada.
  • Quando retiramos um dos triângulos com duas arestas livres, o número de faces de $ {\mathscr{P}}$ diminui de uma unidade, bem como o número de vértices, enquanto que o número de arestas diminui de duas unidades. Mas como:

    $\displaystyle (V- 1) - (A - 2) + (F - 1) = V - A + F$
    a soma $ V - A + F$ mantem-se mais uma vez inalterada.
  • Através de uma sequência apropriada das duas operações anteriores, $ {\mathscr{P}}$ reduz-se a um único triângulo. Mas para este tem-se obviamente que:

    $\displaystyle V-A+F = 3 - 3 + 1 = 1$

    • Para a figura poligonal anterior temos, por exemplo, a seguinte sequência:



Se $ {\mathscr{P}}$ contiver buracos poligonais, a sua característica será também igual a 1 ? O exemplo seguinte mostra que tal não acontece (verifique!).




Mas podemos generalizar a fórmula de Euler para figuras planas $ {\mathscr{P}}$ poligonais com $ b$ "buracos" poligonais. Designemos mais uma vez por $ F,A$ e $ V$ , respectivamente o número de faces, arestas e vértices de $ {\mathscr{P}}$ .

Consideremos agora a figura $ \widetilde{\mathscr{P}}$ , que se obtem a partir de $ {\mathscr{P}}$ preenchendo cada um dos buracos com uma nova face. A nova figura $ \widetilde{\mathscr{P}}$ , é uma figura poligonal simples para a qual é válida a fórmula de Euler. O seu número de faces é $ F+b$, enquanto que o número de arestas e de vértices continua o mesmo - $ A$ e $ V$ , respectivamente.

Para esta nova figura temos portanto que:

$\displaystyle (F+b)-A+V=1$
e portanto:
$\displaystyle \mathcal{X}({\mathscr{P}})=F-A+V=1-b$ (5)

que é a fórmula de Euler generalizada para figuras planas $ {\mathscr{P}}$ poligonais com $ b$ "buracos" poligonais.




Seguinte: O teorema de Pick e a fórmula de Euler
Anterior:O teorema de Pick
Regresso ao Índice