Relação entre o teorema de Pick e a fórmula de Euler

Seguidamente, vamos ver a equivalência entre o teorema de Pick e a fórmula de Euler. Para tal precisamos do conceito seguinte:


Definição

Um triângulo diz-se primitivo, ou fundamental, se os seus únicos pontos de coordenadas inteiras são os vértices.


Eis alguns exemplos (os triângulos vermelhos são primitivos, mas os azuis não). 






Teorema

 O Teorema de Pick implica a fórmula de Euler.



Demonstração... Seja $ {\mathscr{P}}$ uma figura poligonal simples, com $ V$ vértices (em pontos de coordenadas inteiras), $ A$ arestas e $ F$ faces.

Triangulemos $ {\mathscr{P}}$ em triângulos primitivos. Isto é sempre possível e, mais ainda, nesse processo de triângulação a característica de Euler $ \mathcal{X}({\mathscr{P}})$ mantem-se inalterada. A prova destes factos faz-se por indução. De facto, procedendo ao primeiro passo da triangulação de $ {\mathscr{P}}$ , obtemos um polígono $ {\mathscr{P}}_{1}$ , como se ilustra nas figuras seguintes.



$ {\mathscr{P}}_{1}$ tem mais uma face, mais duas arestas e mais um vértice do que $ {\mathscr{P}}$ , e, portanto:

                       $\displaystyle \mathcal{X}({\mathscr{P}}_1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F_{1} - A_{1}+ V_{1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (F+1)-(A+2)+(V+1)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle F-A+V$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathcal{X}({\mathscr{P}})$ (6)

como se tinha afirmado.

Podemos pois supôr que $ {\mathscr{P}}$ está triangulado em triângulos primitivos.

O que pretendemos provar é que $ \mathcal{X}({\mathscr{P}})=V-A+F=1$ , supondo verdadeiro o teorema de Pick: $ {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})=\frac{1}{2} B+I-1$ .

$ F$ (o número de faces de $ {\mathscr{P}}$ ) é pois o número de triângulos primitivos de $ {\mathscr{P}}$ . Como cada um tem área $ 1/2$ , a área de $ {\mathscr{P}}$ é $ F/2$ :

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})= \frac{1}{2} F$

Pelo teorema de Pick, temos então que:

       $\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F/2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} B+I-1$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle F=B+2 I-2$ (7)

Por outro lado, sabemos que cada face de $ {\mathscr{P}}$ (que é um triângulo primitivo, não esqueçamos!) tem 3 arestas. Cada aresta interior pertence exactamente a duas faces, enquanto que cada aresta na fronteira pertence a uma. Portanto $ 3F$ conta duas vezes cada aresta interior e uma vez cada uma das que compõem a fronteira., isto é:


$\displaystyle 3F=2\times(\hbox{n\'umero de arestas interiores})+\hbox{n\'umero de arestas de fronteira}$ (8)

Mas $ B$ é o número de vértices na fronteira, portanto igual ao número de arestas na fronteira. Por outro lado, é claro que o número de arestas interiores é igual ao número total de arestas, $ A$ , menos o número de arestas de fronteira.

Reunindo todas estas informações, vem que:

              $\displaystyle 3F$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(A-B)+B$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ (9)

Atendendo a que $ V=B+I$ e às igualdades (9) e (7), obtemos finalmente:

                                               $\displaystyle \mathcal{X}({\mathscr{P}})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle V-A+F$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (B+I)- \frac{1}{2}(3F+B) +(B+2 I-2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (B+I)- \frac{1}{2}[3(B+2  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ (10)

como se pretendia mostrar.





Teorema

A fórmula de Euler implica o Teorema de Pick.



Demonstração... Consideremos mais uma vez uma figura poligonal simples, $ {\mathscr{P}}$, com $ V$ vértices (em pontos de coordenadas inteiras), $ A$ arestas e $ F$ faces, que supômos triangulada em $ F$ triângulos primitivos.

Como já sabemos:

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})= \frac{1}{2} F$

Usando a fórmula de Euler, $ V-A+F=1$ , a igualdade (9), e ainda o facto de que $ V=B+I$ , obtemos:

                       $\displaystyle \frac{1}{2} F$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}(A-V+1)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(3 F+B)-(B+I)+1\right]$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{F}{4}=\frac{B}{4}+\frac{I}{2}-\frac{1}{2}$ (11)

Logo:

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})= \frac{1}{2} F=\frac{B}{2}+I-1$ (12)

que é o teorema de Pick.




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