Uma prova de Descartes

Usando o facto de que um triângulo primitivo tem área 1/2 e uma ideia de Descartes podemos deduzir simultâneamnete o teorema de Pick e a fórmula de Euler.

Teorema

Se ${\mathscr{P}}$ é uma figura poligonal simples com vértices em pontos de coordenadas inteiras, então:

$\displaystyle \mathcal{X}({\mathscr{P}})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle V-A+F =1$
$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{B}{2}+I-1$	(13)

Demonstração ... Supômos mais uma vez que ${\mathscr{P}}$ está triangulada em $ F$ triângulos primitivos, de tal forma que $$ {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})= \frac{1}{2}$ .

Se somarmos todos os ângulos internos de todas as faces de ${\mathscr{P}}$ obtemos $\pi F$ radianos.

Façamos a mesma soma, mas agora adicionando os ângulos vértice a vértice.

Claro que em cada vértice interior temos $2\pi$ radianos e, portanto, a contribuição total dos vértices interiores é $2\pi I$ . Restam os ângulos em vértices de fronteira. Mas estes ângulos são os ângulos internos de um polígono com $ B$ arestas. Logo a sua soma é $\pi(B-2)$ .