Extensão do Teorema de Pick

Até agora, usámos o teorema de Pick apenas para o cálculo de áreas de polígonos simples. Vamos agora generalizar esse teorema para polígonos com buracos.

Teorema (Extensão do Teorema de Pick)

Seja ${\mathscr{P}}$ uma figura poligonal com vértices de coordenadas inteiras (simples ou não). Então a área ${\mathscr{A}}({\mathscr{P}})$ de ${\mathscr{P}}$ é dada pela fórmula de Pick generalizada:

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})= \frac{1}{2}B+I-1+b$

(16)

onde é o número de pontos de coordenadas inteiras interiores a ${\mathscr{P}}$ , é o número de pontos de coordenadas inteiras na fronteira de ${\mathscr{P}}$ e é número de buracos de ${\mathscr{P}}$ .

Eis um exemplo:

$$\textstyle \parbox{5cm}{\begin{displaymath}I=48,$

Demonstração... Supômos que ${\mathscr{P}}$ está triangulada em $ F$

triângulos primitivos, de tal forma que $$ {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})= \frac{1}{2}$ .

Recordemos que a fórmula de Euler generalizada para figuras planas ${\mathscr{P}}$ poligonais com $ b$ "buracos" poligonais é:

$\displaystyle \mathcal{X}({\mathscr{P}})=F-A+V=1-b$

(17)

Usando esta fórmula de Euler, a igualdade (9), e ainda o facto de que $ V=B+I$ , obtemos:

$\displaystyle \frac{1}{2} F$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}(A-V+1-b)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(3 F+B)-(B+I)+1-b\right]$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{3F}{4}-\frac{B}{4}-\frac{I}{2}+\frac{1}{2}-\frac{b}{2}$
	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle \frac{F}{4}=\frac{B}{4}+\frac{I}{2}-\frac{1}{2}+\frac{b}{2}$	(18)

e portanto:

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{P}})=\frac{1}{2} F=\frac{1}{2}B+I-1+b$

(19)

como se pretendia.

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