Relatividade Restrita - Uma introdução

II. Transformações de Galileu

1.

Transformação de Galileu

Um acontecimento $ A$ ocorre no instante $ t$ no ponto de coordenadas $ (x,y,z)$ , relativas a um referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ . Quais são as coordenadas $ (t',x',y',z')$ de ${\mathcal{A}}$ , relativas a um outro referencial de inércia ${\mathscr{R}}'$ , que se move com velocidade $ {V}$ , relativamente a ${\mathscr{R}}$ ?

Por simplicidade, supômos que o movimento relativo se faz segundo a direcção do eixo dos $ xx$ e que os eixos se mantêm sempre paralelos.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A figura mostra que:

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} x'&=& x-{V} t\\ y'&=&y\\ z'&=&z \end{array}\end{displaymath}$

(2)

equações às quais se deve juntar:

$\displaystyle t'=t$

(3)

que traduz o carácter absoluto do tempo, de acordo com a relatividade de Galileu.

2.

Invariância da distância

Consideremos dois pontos $ P_1$ e $ P_2$ cujas coordenadas num referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ são $ x_1=a$ , $ y_1=z_1=0$ e $ x_2=b$ , $ y_2=z_2=0$ , respectivamente. A distância entre os dois pontos é igual a $ b-a$ .

Seja ${\mathscr{R}}'$ um outro referencial de inércia, que se move com velocidade $ {V}$ , relativamente a ${\mathscr{R}}$ , segundo a direcção do eixo dos $ xx$ (os eixos mantêm-se sempre paralelos).

Relativamente a este referencial os pontos $ P_1$ e $ P_2$ movem-se - as equações do movimento são obtidas usando as transformações (2) e (3):

$\displaystyle x'_1$	$\displaystyle =$	$\displaystyle a-{V} t'$
$\displaystyle x'_2$	$\displaystyle =$	$\displaystyle b-{V} t'$

Suponhamos agora que observadores em ${\mathscr{R}}'$ medem a posição do ponto $ P_1$ no instante $ t'_1$ e a do ponto $ P_2$ no instante $ t'_2$ . A diferença das duas leituras é:

$\displaystyle x'_2-x'_1=b-a-{V}(t'_2-t'_1)$

Portanto, se $ t'_2=t'_1$

, vemos que $ x'_2-x'_1=b-a$

, isto é:

A separação espacial entre dois acontecimentos que ocorrem no mesmo instante (são simultâneos) é invariante. Veremos que isto não é verdadeiro em relatividade de Einstein.

3.

Transformação das velocidades

Suponhamos que um ponto se move numa recta com velocidade uniforme ${\bf v}=(v_x,v_y,v_z)$ , medida num referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ . Se o ponto parte da origem no instante $ y=0$ , as equações do movimento são:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll} x&=&v_x t \\ y&=& v_y t \\ z&=& v_z t\end{array} \right.$

(4)

Usando as transformações (2) e (3) para exprimir $ x',y',z',t'$ em termos de $ x,y,z,t$ , obtemos:

$$\displaystyle \left\{\begin{array}{rll}x'+{V} t'&=&v_x t' \\$

isto é:

$$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}x'&=&(v_x-{V}) t' \\$

Estas equações descrevem um movimento rectílineo uniforme com velocidade constante ${\bf v}'=(v_{x'},v_{y'},v_{z'})$ , onde:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}v_{x'}&=& v_x-{V} \\ v_{y'}&=& v_y \\ v_{z'}&=& v_z \end{array}\right.$

(5)

4.

Invariância da aceleração

De acordo com as equações (5), as velocidades do movimento do ponto diferem de uma constante $ {V}$ . Portanto as acelerações são as mesmas em ambos os referenciais:

$\displaystyle {\bf a}'={\bf a}$

Vejamos um exemplo sugestivo de aplicação das fórmulas que acabamos de referir, e que será útil em breve.

Exemplo:

Dois nadadores nadam num rio de largura $ L$

. A corrente da água do rio tem velocidade $ {V}$

relativamente a um referencial ${\mathscr{R}}$ , fixo nas margens do rio.

Cada nadador nada com velocidade $ c$ relativamente ao referencial de repouso, ${\mathscr{R}}'$ , da água (o referencial que se move solidário com a corrente, da esquerda para a direita no applett ...).

O nadador $ 1$ atravessa o rio, partindo de um ponto $ P$ da margem para o ponto oposto $ B$ , na outra margem, e depois regressa ao ponto de partida. O nadador $ 2$ nada uma distância $ L$ , paralelamente à margem (e relativamente a esta), até ao ponto $ A$ , e depois regressa.

Quem ganha a prova ?

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Animação 1: Mova com o rato o ponto de controlo para obter a resposta.

Resolução:

As coordenadas dos dois referenciais relacionam-se através das equações:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{lll} t'&=& t\\ x'&=& x-{V} t\\ y'&=& y \end{array}\right.$

(6)

(o sinal de $ {V}$

porque supômos que a corrente se desloca da esquerda para a direita, na direcção dos $ x's$

positivos).

No referencial ${\mathscr{R}}'$ (referencial de repouso da água) ambos os nadadores nadam com velocidade $ c$ em qualquer direcção. Mas no referencial ${\mathscr{R}}$ (referencial fixo às margens) a situação altera-se. A relação entre as componentes da velocidade nos dois referenciais obtem-se derivando as relações anteriores relativamente ao tempo (lembrando que $ t=t'$ ) e já foi obtida na secção anterior:

$$\displaystyle \left\{ \begin{array}{lll} v_{x'}&=& v_x-{V}\\ v_{y'}&=& v_y \end...$

(7)

Vejamos o tempo do percurso do nadador $ 2$

:

Relativamente a ${\mathscr{R}}$ ele nada uma distância $ L$

ao longo da margem, como na animação 1, com uma velocidade $v_x=c+{V},v_y=0$ e depois regressa com uma velocidade $v_x=c-{V},v_y=0$ (é claro que estamos a supôr que $ c>{V}$

!). O tempo total gasto é pois:

$\displaystyle \framebox{$\, {T}_2=\frac{L}{c+{V}}+\frac{L}{c-{V}}=\frac{2cL}{c^2-{V}^2}=\frac{2L}{c}\gamma^2\,$}$

(8)

onde:

$\displaystyle \framebox{\,$ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-({V}/c)^2}}\,$}$

(9)

é o chamado Factor de Lorentz.

Vejamos agora o tempo do percurso do nadador $ 1$

As componentes da velocidade do nadador $ 1$ , no referencial ${\mathscr{R}}$ , são $v_x=0, \pm v_y$ , para algum valor $ v_y$ que se pretende determinar (o sinal + no percurso $ PB$ e o sinal - no percurso de regresso $ BP$ ).