Relatividade Restrita - Uma introdução



Dilatação do tempo




Considere mais uma vez um autocarro que se move com velocidade constante $ {V}$ relativamente à paragem. Seja $ {\mathscr{R}}$ um referencial ligado à paragem e $ {\mathscr{R}}'$ um referencial ligado ao autocarro.

Na parede lateral do autocarro está um passageiro $ {\mathcal{P}}'$ que, no instante $ t'=0$ , dispara um flash emitindo um raio luminoso (acontecimento $ A_1$ ), que segue na direcção da parede oposta, aí é reflectido (acontecimento $ A_2$ ), e regressa ao ponto de partida (acontecimento $ A_3$ ):

  $\displaystyle A_1 =$ $\displaystyle \hbox{${\mathcal{P}}'$\ dispara o flash}$  
  $\displaystyle A_2 =$ $\displaystyle \hbox{O raio \'e refletido no espelho}$  
  $\displaystyle A_3 =$ $\displaystyle \hbox{O raio regressa ao ponto de partida}$  


$ \blacktriangleright$Analisemos a experiência no referencial $ {\mathscr{R}}'$, ligado ao autocarro:

No referencial $ {\mathscr{R}}'$ , a duração total do percurso do raio é:

$\displaystyle \Delta t'=t'_3-t'_1=\frac{2\ell'}{c}$ (19)

onde $ \ell'$ é a largura do autocarro, medida em $ {\mathscr{R}}'$.

Note que os acontecimentos $ A_1$ e $ A_3$ ocorrem no mesmo local do autocarro, e que os instantes $ t'_1$ e $ t'_3$ são medidos por um mesmo relógio (o do passageiro $ {\mathcal{P}}'$ ).


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).


$ \blacktriangleright$Analisemos agora a experiência no referencial $ {\mathscr{R}}$, ligado à paragem:

Seja $ {\Delta t}=t_3-t_1$ o intervalo de tempo entre o instante $ t_1$ em que o raio parte (o flash dispara) e o instante $ t_3$ em que regressa, medido por testemunhas $ {\mathcal{T}}_1,{\mathcal{T}}_3$ (observadores) ligados a $ {\mathscr{R}}$ .

Note que agora os acontecimentos $ A_1$ e $ A_3$ ocorrem em locais diferentes (relativamente a $ {\mathscr{R}}$ ), e que os instantes $ t_1$ e $ t_3$ são medidos por dois relógios sincronizados (os das testemunhas $ {\mathcal{T}}_1$ e $ {\mathcal{T}}_3$ ).

Durante o intervalo $ {\Delta t}$ , o autocarro avança uma distância igual a $ \Delta x={V}\cdot{\Delta t}$ . De acordo com esses obervadores, o raio percorre uma trajectória cujo comprimento total é:

$\displaystyle d=2\sqrt{\ell^2+\left(\frac{\Delta x}{2}\right)^2}=2\sqrt{\ell^2+\left(\frac{{V}\cdot{\Delta t}}{2}\right)^2}$ (20)

onde $ \ell$ é a largura do autocarro, medida em $ {\mathscr{R}}$ .


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).


Como a velocidade da luz é igual a $ c$ , em ambos os referenciais, tem-se também que:

$\displaystyle d=c\cdot{\Delta t}$ (21)

Resolvendo em ordem a $ {\Delta t}$ estas duas últimas igualdades, (20) e (21), obtemos:
 
$\displaystyle {\Delta t}=t_3-t_1= \frac{2\ell}{\sqrt{c^2-{V}^2}}=\frac{2\ell}{c\sqrt{1-({V}/c)^2}}=\gamma\,\frac{2\ell}{c}$ (22)

onde o factor de Lorentz $ \gamma$ é dado por:
$\displaystyle \framebox{$\,\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left({{V}}/{c}\right)^2}}\,$}$ (23)

Como o autocarro se move unicamente segundo a direcção do eixo dos x's, é natural supôr que $ \ell=\ell'$ (de facto, não há deformação de comprimento segundo direcções perpendiculares ao movimento). Sendo assim, é possível relacionar os dois intervalos de tempo $ \Delta e $ {\Delta t}$ , dados por (19) e (22). Obtemos:

$\displaystyle \framebox{$\,{{\Delta t}}= \gamma \cdot {\Delta t}'\,$}$ (24)


Como já vimos, no referencial $ {\mathscr{R}}'$ , ligado ao autocarro, o raio regressa ao mesmo ponto de partida (o que não acontece, de acordo com o referencial $ {\mathscr{R}}$ , como está bem claro nos applets anteriores).

O intervalo de tempo entre dois acontecimentos que ocorrem no mesmo local (espacial) diz-se o tempo próprio entre esses dois acontecimentos. O tempo próprio é o menor tempo medido - pode ser medido por um mesmo relógio situado no local onde ocorrem os acontecimentos. Qualquer outro tempo (impróprio) representa a diferença de leituras de dois relógios distintos.
Concluindo:

 





   O intervalo de tempo entre dois acontecimentos é mínimo quando medido no referencial em que os acontecimentos ocorrem no mesmo local (se existir um tal referencial). Em qualquer outro referencial, o intervalo de tempo é maior, com um factor multiplicativo igual a $ \gamma\geq 1$ .

 

O tic-tac de um relógio em movimento uniforme é mais lento quando observado por um referencial estacionário:

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).


Esta "dilatação do tempo" ocorre qualquer que seja o tipo de "relógio". Se assim não fosse, o princípio da relatividade seria violado - se existisse um relógio insensível à dilatação temporal, poderíamos usá-lo para distinguir certos referenciais de inércia.



Decaímento de muões

O decaímento de muões a alta velocidade (relativamente à terra) suporta experimentalmente esta predição da teoria.

De facto a duração de vida própria de um muão é $ \Delta segundos. O muão desloca-se relativamente à terra com uma velocidade uniforme de $ V=0.995c$ . Logo o factor de Lorentz é $ \gamma=10$ e o tempo de percurso (médio) de um muão, antes da sua desintegração, é:

$\displaystyle \Delta t=\gamma \cdot\Delta t'=2.2\times 10^{-5}$

A distância que o muão percorre, no referencial ligado à terra, é pois de cerca de $ 6.6$ Km, suficiente para explicar a existência de muões detectados ao nível do mar !!






Página seguinte: Contracção do comprimento
Página anterior: Relatividade da noção de simultaneidade
Índice