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III. Aparelhos para construir cónicas. Conicógrafos

       Uma das possíveis definições de cónica, é a seguinte:

Definição 3.1   ... Seja $ d$ uma linha recta fixa no plano, $ F$ um ponto fixo, não pertencente a $ d$, e $ e >0$ um número positivo.

      Ao conjunto:

$\displaystyle {\mathscr{C}}=\left\{P\in \hbox{\em plano}: \ \ \frac{\hbox{\em (1)

chama-se cónica com excentricidade $ e$, foco $ F$, e directriz $ d$. Essa cónica diz-se uma:
 
\begin{displaymath}\begin{array}{lcr}

       No applet seguinte, pode mudar o valor da excentricidade $ e$, para obter os três tipo de cónica.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).


     


       Consideremos um sistema de eixos cartesianos cuja origem coincide com o foco $ F$, com o eixo dos $ x's$ perpendicular à directriz, como na figura seguinte:

       Com as notações seguintes:

$\displaystyle r=FP ;\ \ \ \ {\theta}=\measuredangle(BFP)$
vemos que:
$\displaystyle e=\frac{\hbox{

       Mas, por outro lado:
 

$\displaystyle f\equiv{\hbox{dist\^ancia $(F;d)$}}=r\cos{\theta}+PD\ \ \ \ \ \
supondo que $ P$ está à esquerda da directriz, como na figura, de tal forma que $ r\cos{\theta}<f$.

       Portanto, nesta situação, virá que:

$\displaystyle f-r\cos{\theta}=\frac{r}{e}$

       Resolvendo em ordem a $ r$, obtem-se:

$\displaystyle r=\frac{ef}{e\cos{\theta}+1} $

       Supondo que $ P$ está à direita da directriz, como na figura, de tal forma que agora $ r\cos{\theta}>f$, deduzimos, de forma análoga, que:

$\displaystyle r=\frac{ef}{e\cos{\theta}-1} $
Como $ r>0$, esta última equação implica que $ e>1$, isto é, existem pontos à direita da directriz apenas no caso da hipérbole.




Resumindo:

     Seja $ {\mathscr{C}}$ uma cónica com excentricidade $ e$, foco $ F$ na origem das coordenadas, e com uma directriz vertical $ d$, situada à direita do foco, a uma deste igual a $ f$.

     Se $ 0<e\leq 1$, a cónica $ {\mathscr{C}}$ é uma elipse ou uma parábola. Todo o ponto $ P$ de $ {\mathscr{C}}$ está à esquerda da directriz e satisfaz equação polar:

$\displaystyle r=\frac{ef}{e\cos{\theta}+1} $ (2)

     Se $ e>1$, a cónica é uma hipérbole com um ramo em cada lado da directriz. Pontos do ramo esquerdo satisfazem a equação (2), enquanto que os pontos do ramo direito satisfazem a equação polar:

$\displaystyle r=\frac{ef}{e\cos{\theta}-1} $ (3)







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