Uma aplicação aritmética do teorema de Pick

Problema

Suponhamos que $ p$ e $ q$ são números inteiros primos entre si (isto é, o único divisor comum é 1 ). Calcular números inteiros $ m$ e $ n$ tais que:

$\displaystyle mp-nq=1$ (20)




Exemplos:   (i). se $ p=12$ e $ q=17$ , podemos tomar $ m=10$ e $ n=7$ . De facto:

$\displaystyle 10\times 12-7\times 17=1$

(ii). Um outro exemplo: se $ p=8$ e $ q=5$ , podemos tomar $ m=3$ e $ n=2$ . De facto:

$\displaystyle 2\times 8-3\times 5=1$


Não se conhece uma fórmula simples para calcular $ m$ e $ n$ , em função de $ p$ e $ q$ , embora exista um processo sistemático - o algoritmo de Euclides - que pode ser aplicado a cada par $ (p,q)$ para determinar uma solução $ (m,n)$ da equação (20).

É neste contexto que o teorema de Pick pode ser útil. Vejamos como.

Dado um par de inteiros $ (p,q)$ , primos entre si, consideremos a recta que une a origem $ O=(0,0)$ ao ponto $ P=(p,q)$ . Como $ p$ e $ q$ são primos entre si não existe qualquer outro ponto do reticulado nesta recta (consegue provar isto?).

Mova-se agora esta recta, paralelamente a si própria, até encontrar, pela primeira vez, um ponto $ M$ do reticulado. Designemos por $ M=(n,m)$ as coordenadas deste ponto (note a troca da ordem!).

Na figura seguinte, ilustra-se o método para  $ p=8$ e $ q=5$:



Consideremos agora o triângulo $ {\mathscr{T}}$ com vértices $ O,P$ e $ M$ . Pela forma como escolhemos o ponto $ M$ , este triângulo é primitivo - não contem pontos do reticulado no seu interior nem na sua fronteira, com excepção dos vértices. A sua área é pois:

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{T}})=0-\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$ (21)

de acordo com o teorema de Pick.

Mas, por outro lado, essa mesma área é igual a:

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{T}})=\frac{1}{2}(mp-nq)$ (22)

De facto, a figura seguinte mostra que a área de um triângulo de vértices $ O=(0,0)$, $ P=(p,q)$ e $ M=(n,m)$, mesmo que não seja prmitivo, é igual a $\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{T}})=\frac{1}{2}(mp-nq)$ (verifique isto!).





Igualando (21) e (22), obtemos:

$\displaystyle \frac{1}{2}={\mathscr{A}}({\mathscr{T}})=\frac{1}{2}(mp-nq)$
isto é:
$\displaystyle mp-nq=1$ (23)

Desta forma obtemos pois uma solução para o problema proposto.






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