COMO DESENHAR UMA LINHA RECTA
COM
MECANISMOS
ARTICULADOS PLANOS
(segundo Kempe)
Alfred
Bray Kempe
Born:
6 July 1849 in Kensington,
London, England
Died: 21 April 1922 in London,
England
1.
Introdução
O grande
geómetra Euclides,
antes de demonstrar várias proposições contidas na
sua obra Elementos
de Geometria, pressupõe que sejamos capazes de efectuar certas
construções preliminares. Estes requisitos iniciais,
agora denominados Postulados, envolvem, em particular, a suposta
possibilidade de construirmos linhas rectas e círculos. É
tão grande a veneração prestada a este
mestre-geómetra, que, em geral, todos recusariam a
designação de “geométrica” a uma
demonstração que não pudesse ser efectuada apenas
com o recurso a linhas rectas e círculos. Consequentemente
muitos problemas - tal como, por exemplo, a trissecção de
um ângulo - que podem facilmente ser resolvidos por outros
processos simples, segundo Euclides, não têm uma
solução geométrica, já que não podem
ser resolvidos apenas com linhas
rectas e círculos.
Tornou-se assim
interessante investigar como podemos satisfazer
estas
exigências preliminares, como construir estes círculos e
estas linhas rectas com a precisão máxima
permitida pelos dispositivos físicos que temos ao dispor.
Relativamente ao círculo não encontramos
dificuldades.
Atendendo às definições de Euclides, e supondo que
a superfície na qual desejamos descrever o círculo
é um plano, vemos que basta que o
marcador preserve a distância (igual ao raio requerido) ao centro
dado do círculo. Isto pode imediatamente ser conseguido tomando
uma peça plana de qualquer forma, tal como uma peça de
cartão, passando o pivot (pequeno eixo), que está fixado
à superfície dada, no centro dado através dum furo
na peça, e o marcador (ou lápis) por entre outro furo
nessa mesma peça, com uma distância ao primeiro furo igual
ao raio dado; podemos então, movendo o lápis, mesmo com
este rude aparelho, descrever um círculo com considerável
precisão e facilidade; e quando os furos e pivots forem muito
pequenos, ou mesmo grandes, desde que efectuados com a maravilhosa
precisão que o torno mecânico já permite obter,
devemos obter um
resultado incomparável pela suavidade e precisão dos seus
movimentos. O aparelho que acabamos de descrever é evidentemente
um simples compasso, e é usual dizer-se que o terceiro Postulado
postula a existência de compassos.
Mas a linha recta, como vamos nós descrevê-la?
Euclides
definiu-a como algo que se “distribui uniformemente entre os seus
pontos extremos”. Isto não nos ajuda muito. Os livros de texto
dizem que o primeiro e segundo Postulados postulam a existência
de régua (2). Mas isto é supor como dado adquirido
exactamente aquilo que se pretende construir: se estamos a desenhar uma
linha recta com uma régua, a própria régua tem uma
aresta recta; e como vamos construir essa aresta recta? Voltámos
ao ponto de partida.
Esperámos que, neste momento, seja bem clara a
diferença
entre o método que adoptámos há pouco, para
descrever um círculo, e o método da régua para
descrever uma linha recta. Se aplicarmos o método da
régua na descrição do círculo, devemos
tomar uma lâmina (chapa) circular,
por exemplo uma moeda, traçando o círculo passando um
lápis em volta do bordo. No entanto, encontrámos de novo
as mesmas dificuldades de há pouco, visto que primeiramente
temos que fazer a lâmina em forma circular !
Por outro lado, no outro método que aplicámos para o
círculo, não assumimos previamente que temos um
círculo que depois usámos para traçar um outro -
simplesmente exigimos que a distância entre dois pontos seja
invariável. Estámos naturalmente cientes que
aplicámos círculos no nosso compasso simples, o pivot e o
furo na peça móvel são disso exemplos; mas os
círculos são usados, não por serem as curvas que
queremos descrever (estas são de diferente tamanho), tal como o
caso da aresta recta, mas devido à impossibilidade de
construir pivots ou furos de dimensão nula, somos
forçados
a adoptar o melhor substituto possível para fazer com que um
ponto
na peça articulada fique no mesmo sítio. Se usarmos
pivots
e furos muito pequenos, embora eles não sejam verdadeiramente
circulares,
o erro na descrição do círculo, em
dimensões moderadas, será praticamente
infinitesimal, não excedendo talvez a largura da
linha mais fina que o marcador possa descrever; e, mesmo quando
aplicamos grandes pivots e furos, devemos obter resultados com
precisão, já que esses pivots e furos podem ser feitos
usando outros de dimensões muito pequenas, na máquina que
os constrói.
Parece portanto que, embora tenhámos um método
fácil e preciso para descrever um círculo, não
temos, à primeira vista, um método correspondente para
descrever uma linha recta; ora isto representaria uma enorme lacuna –
não sabermos
construir logo aquela que, para os matemáticos, é a curva
mais simples! Assim, superar tamanha dificuldade tornou-se um objectivo
de claro interesse teórico.
Mas esta não é uma questão apenas de interesse
teórico, pois é óbvia a sua grande
importância prática no fabrico de mecanismos. De facto,
num grande número de máquinas e aparelhos
científicos é necessário que algum ponto ou pontos
devam mover-se com precisão segundo uma linha recta,
com a mínima fricção (atrito) possível. Se
adoptarmos o “princípio da régua”, e o ponto fôr
mantido
na sua trajectória através de guias, teremos o desgaste,
com eventual ruptura, produzido pela fricção das
superfícies de deslizamento e ainda a deformação
produzida por mudanças de temperatura e variação
de tensões, isto, é claro, para além da
dificuldade inicial de fazer as guias verdadeiramente rectas! Por
conseguinte, torna-se realmente necessário obter algum
método que não envolva estas características
desagradáveis, mas que possua a precisão e facilidade do
movimento que caracterizam o nosso aparelho para a
construção do círculo.
Voltando ao aparelho, notemos que tudo o que é necessário
para desenhar com precisão um círculo, com um certo raio
dado, é ter a distância entre o pivot e o marcador bem
determinada; se articulámos uma segunda peça à
superfície fixa, com o respectivo pivot, tendo também um
marcador, tal como a primeira, então, com uma distância
apropriada entre marcador e pivot, podemos descrever um segundo
círculo cujo raio possui qualquer proporção
pré-determinada com o do primeiro círculo. Removendo
agora os dois marcadores, articulemos uma terceira peça com as
duas anteriores, a que chamámos radiais, nos pontos onde estavam
os marcadores. Fixemos então um novo marcador em algum ponto
desta terceira peça transversal, tal como se mostra na figura 1.
Figura 1
Se as peças radiais
forem suficientemente grandes,
o marcador descreve círculos ou porções de
círculos nelas próprias; contudo elas estão em
movimento, com a mesma mobilidade e precisão, tal como no caso
do aparelho simples para desenhar círculos; no entanto, agora o
marcador não descreverá um círculo na
superfície fixa, mas sim uma curva complicada.
Esta curva, será descrita todavia, com toda a facilidade e
precisão com que eram descritos os círculos, e se
quisermos reproduzir
num segundo aparelho as curvas que produzimos com este, temos apenas de
respeitar as distâncias entre os pivots e o marcador. As curvas
serão precisamente as mesmas, em ambos os casos.
Poderíamos,
naturalmente, ir acrescentando novas peças ad libitum,
conseguindo
desta forma descrever muitas curvas complicadas, embora com resultados
idênticos de precisão e suavidade – assim, a
reprodução de qualquer curva particular, dependerá
unicamente da correcta determinação de um certo
número definido de distâncias.
A estes sistemas, constituídos por peças articuladas
entre si e por pivots ligando essas peças a uma base fixa, de
tal forma que os vários pontos nessas peças descrevem
curvas definidas, chamámos “sistemas articulados”; às
peças chamámos “barras”. Por vezes tem interesse
considerar esses sistemas independentemente da forma como se encontram
articulados à superfície fixa. Nesse caso
designá-los-emos por “mecanismos planos”. Estes podem ser
rodados de forma arbitrária relativamente à base fixa. A
curva descrita pelo marcador de um sistema articulado designa-se por
“traço “ (3).
As propriedades destes mecanismos planos têm atraído a
atenção dos matemáticos durante os últimos
anos e é um tema muito complexo e difícil. Apesar de ser
possível a análise puramente matemática da
questão, vamos restringir a nossa atenção aos
resultados práticos que alguns matemáticos obtiveram.
Aliás, acreditámos que tais resultados só poderiam
ser mesmo obtidos por matemáticos! Não resta qualquer
dúvida àcerca da valia desses resultados, embora a sua
grande beleza possa ter exacerbado a importância que eles de
facto não têm. Pode ser que, hà 50 anos
atrás, eles tenham tido um valor que, entretanto, deixaram de
ter devido aos sucessos conseguidos pela mecânica moderna na
construção de réguas e outras estruturas exactas.
Os resultados práticos obtidos pelo uso dos mecanismos
planos
são, apesar de em número reduzido, estritamente
relacionados com o problema do movimento rectilíneo, e, de
facto, foram obtidos durante a investigação desse
problema. Portanto, somos levados naturalmente a considerar o movimento
rectilíneo como a essência do nosso estudo. Mas, antes de
nos debruçamos sobre esses mecanismos, é útil
imaginar como poderemos construir, na prática, tais modelos; e
aqui está uma das grandes vantagens do nosso tema - podermos
visualizar com toda a facilidade tais resultados diante de nós.
Alfinetes para os pivots fixos, cartões para as barras, corda ou
algodão
para os restantes pivots e uma mesa para a base fixa, é tudo o
precisamos.
Se for pretendido algo mais artístico, podemos utilizar os
modelos
exibidos, na Loan Collection. Os modelos foram construídos por
H.R.Kempe,
da seguinte maneira. As bases são placas estreitas pintadas de
preto;
as barras são primorosamente construídas com
cartões
espessos; os pivots são pequenos pregos feitos de corda, sendo
as
cabeças dos pregos feitas pressionando a face de um cinzel de
metal
quente nos extremos da corda, após esta ter passado
através
dos buracos dos pivots; isto produz uma macia e firme junta de
trabalho.
Pivots mais duradouros podem ser feitos de folha-de-flandres; fura-se a
folha-de-flandres para se obter os buracos dos pivots e utiliza-se
ilhós
de sapatos para os pivots. Pode adquirir-se os utensílios
referidos,
economicamente, em qualquer drogaria.
2.
Traçado aproximado de uma linha recta
As curvas descritas por pontos escolhidos nestes
mecanismos são, em geral, muito complexas. Mas poderemos obter
curvas simples, se escolhermos adequadamente as distâncias entre
os pivots. Existirá algum ponto, de alguma barra, que descreva
uma linha recta? Isto é o que vamos investigar.
Com uma única barra é visivelmente impossível,
pois todos os pontos da barra descrevem círculos. Consideremos
então uma estrutura de três barras. Neste caso teremos de
escolher seis distâncias: a distância entre os pivots
fixos, CD, as distâncias entre os pivots nas barras radiais, BD e
AC, a distância entre os pivots nas barras transversais, AB, e a
distância entre o marcador e os pivots nas barras transversais,
AP e BP (P é o marcador) (ver a figura 2). Podemos escolher tais
distâncias, de modo que o nosso traçado seja uma linha
recta?
A
primeira pessoa que
investigou isto foi James Watt. O “Movimento Paralelo de Watt” (4),
inventado em 1784, é conhecido por qualquer engenheiro e
é utilizado
em quase todas as máquinas a vapor. Um modelo deste sistema
articulado está ilustrado na figura 2, na sua forma mais
simples.
As
barras radiais
são de igual comprimento e a distância entre os pivots na
barra transversal é tal que, quando as barras radiais são
paralelas, a linha formada por esses pivots é perpendicular
às barras radiais. O marcador está situado no ponto
médio dos pivots na barra transversal. A curva descrita pelo
marcador é aproximadamente uma linha recta, se o sistema
articulado não se desviar muito da sua
posição média. A razão para este facto
é
que os círculos, descritos pelas extremidades das barras
radiais,
têm concavidades com direcções opostas, e o
marcador,
situado no ponto médio da barra transversal, descreve uma curva
que acaba por não ter concavidade e é, por isso, pelo
menos
aproximadamente, uma linha recta. A curva
não
é, contudo, exactamente recta (prova 1.pdf; prova geral.pdf), pois se
permitirmos que o
marcador
descreva todo o traçado que é capaz de descrever, este
desvia-se,
consideravelmente, da linha recta, quando suficientemente afastado da
sua
posição média. A curva que se obtém com
este
mecanismo tem a forma de um 8, como podemos ver na figura 2.
Para
muitas aplicações, a
“linha recta” obtida pelo mecanismo de Watt, é perfeitamente
satisfatória, mas, se for necessária uma linha recta
exacta, temos que insistir nas nossas tentativas. De facto, é
possível provar que
é impossível resolver o problema com uma estrutura de
três barras. Existem melhores aproximações de
linhas
rectas do que as dadas por Watt.
Daremos alguns exemplos dessas aproximações. A primeira
dessas, descrita na figura 3, deve-se a Richard Roberts de Manchester.
As barras radiais, AB e CD, são de igual comprimento, a
distância entre os pivots fixos, AD, é o dobro da
distância entre
os pivots na parte transversal, BC, e o marcador dista dos pivots o
mesmo comprimento das barras radiais. Consequentemente, o marcador
traça aproximadamente a linha recta que se obtém unindo
os pivots fixos, coincidindo com esses mesmos pivots e com o ponto
médio entre eles. Contudo, não coincide em quaisquer
outros pontos, desviando-se
ligeiramente entre os pivots fixos. A trajectória descrita pelo
marcador, depois de passar pelos pivots fixos, desvia-se da linha
recta.
O outro aparelho foi inventado pelo Professor Tchebicheff de São
Petersburgo. Está representado na figura 4. As barras radiais
são iguais em comprimento, tendo por exemplo, cada 12,7cm de
comprimento no meu modelo pequeno. A distância entre os pivots
fixos tem então de ter 10,16cm, e a distância entre os
pivots ou entre as barras transversais 5,08cm. O marcador está a
meio, entre estas últimas. Se
agora desenharmos uma linha recta – de facto, ainda não sabemos
fazer isso! Mas continuando - se desenharmos uma linha recta, assim
popularmente chamada, através do marcador, na sua
posição média, tal como ilustrado na figura 4,
paralela à recta que une os pivots fixos, verifica-se que o
marcador coincide com essa linha nos pontos
onde as verticais através dos pivots fixos a interceptam, tal
como na posição média, mas, como no caso do
mecanismo
de Roberts, não coincide em nenhum outro ponto, apesar do seu
desvio
ser muito pequeno, desde que o marcador P se mantenha entre as
referidas
verticais.
2.
Traçado exacto de
uma linha recta. O mecanismo de Peaucellier
Falhámos então com 3 barras, e temos de
continuar com o próximo caso, um mecanismos com 5 barras –
observemos que precisamos de um número ímpar de barras se
queremos um aparelho que descreva determinadas curvas. Será que
conseguimos resolver
o problema com 5? Podemos, de facto! Mas este não foi o primeiro
movimento exacto descoberto, e temos de dar ao seu primeiro autor o
respectivo
mérito (se bem que ele não tenha descoberto o modo mais
simples)
e prosseguir por ordem cronológica estrita.
Em 1864, oito anos após a
descoberta de Watt, o problema foi
resolvido pela primeira vez por M. Peaucellier, um oficial de
Engenharia da armada francesa. À sua descoberta não foi
inicialmente dado o seu real valor, tendo caído quase no
esquecimento, até ter sido redescoberta por um estudante russo
chamado Lipkin, que recebeu um prémio substancial do Governo
Russo pela sua suposta originalidade. Entretanto, o mérito de M.
Peaucellier foi finalmente reconhecido, tendo sido
galarduado com o prémio de grande mecânico do Instituto de
França, o “Prix Montyon”.
O aparelho de M. Peaucellier está representado na figura 5.
Figura
5.
Mecanismo de Peaucellier
(ver relatório
da
construção pdf)
Tem, como se pode ver, sete barras. Existem antes de
mais
duas barras de igual comprimento (OA=OB). Estas estão ambas
articuladas no mesmo ponto fixo O; as suas outras extremidades, A e B,
estão articuladas em ângulos opostos de um losango ACBP
composto por 4 barras iguais e de comprimento inferior às barras
OA e OB. A porção do aparelho que descrevi até
agora, considerada ignorando a base fixa, é um sistema
articulado denominado “célula de Peaucellier”. Pegámos
então numa barra extra, QC, e articulámo-la a um ponto
fixo, Q, tal que QC=QO; a outra extremidade desta barra extra
está então articulada a um dos ângulos livres do
losango, C; o outro ângulo livre do losango, P, tem um marcador
no
seu pivot, que vai descrever uma linha recta exacta.
Temos agora de fazer uma breve digressão em Geometria
elementar.
É absolutamente necessário que façámos
isso, a fim de podermos perceber o princípio do mecanismo de
Peaucellier.
Na figura 6, QC é a
barra extra, articulada ao ponto fixo Q. A outra extremidade desta
barra é C, que descreve o círculo OCR. As linhas rectas
PM e
P´M´ são perpendiculares a MM´. O ângulo
OCR, sendo o ângulo num semicírculo, é um
ângulo recto. Portanto, os triângulos OCR e OMP são
semelhantes, donde se deduz que:
OC:OR=OM:OP
ou ainda:
OC.OP=OM.OR
qualquer
que seja a
posição de C sobre o círculo. Ou seja, como OM e
OR são ambas
constantes, quando C se move no círculo, P move-se de tal forma
que O, C e P estão sempre alinhados, e OC.OP é sempre
constante;
portanto P irá descrever a linha recta PM perpendicular à
linha OQ.
Figura
6
É também claro que se tomarmos o ponto
P´, do outro lado de O, e se OC . OP´ é constante,
P´ vai descrever a linha recta P´M´. Isto vai ser
importante.
Agora, na figura 7, que é um esboço da célula
de
Peaucellier, vemos que da simetria da construção da
célula, O, C, P são colineares, e se a linha recta An
fôr desenhada perpendicular a CP – esta linha recta deve ainda
ser imaginada, uma vez que ainda não provamos que o nosso
aparelho desenha uma linha recta – Cn é igual a nP. Agora,
AO² = On² +
An²
AP² = Pn²+ An²
e
portanto,
AO²
– AP² = On²
– Pn²
= [On – Pn ] . [On + Pn ]
= OC . OP
Assim,
como OA e AP
são ambas constantes, OC . OP é sempre constante,
quer C e P estejam perto ou longe de O. Se então o pivot O
fôr fixado no ponto O na Fig. 6, e o pivot C for
construído de modo a que descreva
a circunferência de centro Q, aí representada, o pivot P
vai satisfazer todas as condições necessárias para
se mover numa linha recta, e se fixarmos um marcador a P, este vai
traçar uma linha recta exacta. A distância da linha aos
pivots fixos vai depender de AO² – AP² que podemos fixar de
forma arbitrária.
Figura 7
Esperamos que seja bem claro quais os
dois elementos que compõem
o aparelho, a barra extra e a célula, e a função
que cada um desempenha, uma vez que pretendemos agora descrever algumas
modificações da célula. A barra extra vai
permanecer a mesma que antes, e é somente a célula que
irá ser alterada.
3.
Modificações da célula de Peaucellier
Se pegarmos nas articulações planas da figura 8, que
são conhecidas como o “Rombóide” e a “Ponta de
Lança”, e colocarmos uma sobre a outra de tal forma que as
barras longas de uma sejam coladas às da outra, obtemos a
célula original das figuras 5 e
7. Se mantivermos os ângulos entre as barras longas, ou as barras
curtas, como no “Rombóide” e na “Ponta de Lança”, vemos
que a altura do “Rombóide” multiplicada pela da “Ponta de
Lança”
é constante.
Figura
8
(ver relatório
da
construção pdf)
Suponhamos agora que, em vez de colarmos as barras
longas, optámos por colar as barras curtas. Obtemos então
a articulação plana da figura 9; e se o pivot onde as
barras curtas se encontram for fixo, e um dos outros pivots soltos for
obrigado a mover-se no círculo da figura 6, recorrendo à
barra extra, o outro vai descrever,
não a linha recta PM, mas a linha recta P’M’. Nesta forma, que
é muito compacta, o movimento foi aplicado com sucesso nos
ventiladores das Casas do Parlamento. A mobilidade e a ausência
de fricção e barulho são notáveis. Os
motores foram construídos, adaptando-lhes o aparelho de
“Peaucellier”, por Mr. Prim, o engenheiro das Casas do Parlamento.
Uma outra modificação da célula
está representada na figura 10. Se em vez de usarmos um
“Rombóide” e uma “Ponta de Lança” com as mesmas
dimensões, usarmos o
mesmo “Rombóide” mas agora uma “Ponta de Lança” com
metade do tamanho do anterior, mantendo contudo os mesmos
ângulos, o produto das alturas vai ser metade do anterior, mas
ainda constante.
Figura
10
(ver relatório
da
construção pdf)
Desta vez, em vez de colarmos as barras de uma figura
na
outra, na figura 10 juntámos as barras mais curtas de cada
figura, interligando as extremidades. Então, como nos casos
anteriores, se fixarmos o pivot, no ponto onde as barras são
unidas, obtém-se uma célula que pode ser usada, pela
utilização de uma barra extra, para descrever uma linha
recta. Um modelo usando este tipo
de célula está a ser exibido na Loan Collection na
Conservatória de Artes e Profissões de Paris, e é
de uma mão-de-obra exclusiva; o marcador parece nadar ao longo
da linha recta.
A descoberta de M. Peaucellier foi introduzida em Inglaterra pelo
Prof.
Sylvester, numa palestra que ele deu na Royal Institution, em Janeiro
de 1874 (5), que suscitou muito interesse e marcou o início do
interesse pelo estudo das articulações planas neste
país.
Em Agosto do mesmo ano, Mr. Hart, da Academia de Woolwich, leu um
trabalho no encontro da Associação Britânica (6),
no qual
ele mostrava que a célula de M. Peaucellier podia ser
substituída por um aparelho contendo apenas quatro barras em vez
de seis.
Se à célula comum de Peaucellier acrescentarmos duas
barras, do mesmo tamanho das longas, obtemos 2 células, ou
melhor, quatro células, já que pode ser usada de quatro
maneiras diferentes, como se mostra na figura 11.
Mr. Hart descobriu que se pegarmos num paralelogramo, no qual os lados
adjacentes são diferentes e se cruzarmos as barras para formar
um chamado contra-paralelogramo, representado na figura 12, e se depois
tomarmos quatro pontos, nas quatro barras, dividindo as
distâncias entre
os pivots na mesma razão, então esses quatro pontos
têm exactamente as mesmas propriedades que os quatros pontos da
célula dupla.
Figura 12
(ver relatório
da
construção pdf)
Que os quatro pontos são sempre colineares pode ser visto da
seguinte forma: consideremos o triângulo abd; como aO : Ob = aP :
Pd, concluímos que OP é paralela a bd e a distância
entre essas paralelas está para a altura do triângulo abd
assim como Ob está para ab; o mesmo argumento aplica-se à
linha recta CO’, como ab
: Ob = cd : O’d e as alturas dos triângulos abd e cbd, são
claramente as mesmas, as distâncias de OP e O’C a bd são
as mesmas, e OCPO’ situam-se sobre a mesma linha recta.
Que o produto OC.OP é constante, resulta imediatamente do facto
de que ObC é metade de uma “Ponta de lança” e OaP
é metade de um “Rombóide”; analogamente se mostra que
O’P.O’C é constante, e do mesmo modo, também o são
OC.CO’ e OP.PO’. Usando então a célula de Hart
assim como usámos a de Peaucellier, obtemos um movimento
rectilíneo com um mecanismo de cinco barras. Um modelo destes
foi exibido na Loan Collection por M. Breguet.
Queremos
agora chamar a
atenção para uma extensão do aparelho do Mr. Hart,
que foi descoberto simultaneamente pelo Prof. Sylvester e por A. Kempe.
No aparelho de Mr. Hart estávamos apenas preocupados com barras
e pontos nessas barras, mas no aparelho, que queremos agora descrever,
temos peças em vez de barras. Acho que talvez seja mais
interessante começar por contar a história do aparelho,
especialmente porque isso permitirá mostrar outra
articulação plana também muito distinta e
importante
– a que foi descoberta pelo Prof. Sylvester.
Quando analisámos o problema do movimento do mecanismo de
três barras, consistindo de duas barras radiais e uma
transversal, ocorre
de forma natural a ideia de considerar a relação entre as
curvas descritas pelos pontos da barra transversal, em qualquer
movimento
de três barras, e as curvas descritas por um mecanismo
semelhante,
mas no qual as barras transversal e uma das radiais permutaram os seus
papéis. A solução em breve se tornou óbvia
- as curvas são semelhantes. Na figura 13, CD e BA são as
duas barras radiais,
rodando em torno dos centros fixos C e B, DA é a barra
transversal,
e P é um qualquer ponto na barra transversal, descrevendo uma
curva
que depende dos comprimentos de AB, BC, CD e DA.
Agora
juntamos ao movimento “três-barras” as barras CE e EA, de tal modo que CE=DA e EA=CD. CDAE torna-se então um
paralelogramo.
Seja
P um ponto da barra CA; se traçarmos uma
semi-recta com
origem em C que passe por P e a intersectarmos com a recta
que
contém EA, obtemos P'. Quando fazemos o mecanismo
mover-se,
verifica-se que CP':CP=CD:CE=k,
com k constante. Assim a
curva descrita por P'
é exactamente a mesma que a
descrita
por P', embora a descrita por
P' esteja para a descrita por P na razão k.
Assim
se retirarmos as barras CD e DA, obteremos uma
articulação
de
três barras descrevendo exatamente as mesmas curvas só que
com
diferentes magnitudes, como descreveu o primeiro conjunto de três
barras,
e este novo conjunto de três barras é semelhante ao
anterior
com a articulação radial CD e a articulação
transversal DA trocadas entre
si (7).
Ao
comunicar este resultado ao Professor
Sylvester, este viu imediatamente que esta propriedade não se
verifica apenas no caso particular do ponto P sobre a barra AD, no caso do movimento
“três-barras”,
mas era constituído pelo movimento de três peças, o
mecanismo “três-barras” e dois triângulos rígidos.
Na figura 14, CDAB é
um movimento “três-barras”,
como na figura 13, mas agora P
não se encontra na barra AD,
P é o vértice de
um
triângulo rígido cujo um dos lados coincide com a barra AD. Agora, tal como antes, junte a
barra CE e a barra AE, de tal modo que CE=AD e EA=CD. Juntemos agora o
triângulo AEP', fazendo
com que o triângulo AEP'
seja semelhante ao triângulo PDA
ou
seja, tal que os ângulos AEP'
e ADP sejam iguais, e P'E:EA=AD:DP.
Figura 14
(ver relatório
da construção pdf)
É
fácil compreender a partir
daqui que PC':PC=k e que o
ângulo PCP' é
constante; desta maneira o lugar
geométrico descrito pelos pontos P e P' são semelhantes,
só que
têm tamanhos diferentes, e um é rodada através de
um ângulo e o outro através de outro.
Agora
vamos observar que as duas
demonstrações são inteiramente independentes da
barra AB, que apenas afeta a
curva particular
descrita por P e P'. Se nos livrarmos de AB em ambos os casos, vamos obter
na primeira
figura o comum Pantógrafo
e na segunda uma bonita extensão do
mesmo, chamada pelo Professor Sylvester, o seu inventor, de Plagiógrafo ou “Skew” Pantógrafo. Tal como
o Pantógrafo, o Plagiógrafo irá
aumentar ou reduzir as figuras
e
rodá-las através de qualquer ângulo, escolhendo a
posição certa de P
e P. Podemos tomar qualquer
valor para a
razão CP':CP, assim
como o ângulo PCP' pode
ser construído para obtermos
qualquer valor pedido. Se o ângulo PCP' é igual a 0º ou a
180º,
vamos ter as duas formas do Pantógrafo
no seu uso comum; se ele for
construído de modo a assumir sucessivamente valor diferente dos
referidos anteriormente, podemos a partir de P, repetindo o mesmo processo,
obter P', rodando-o em torno
do centro fixo C após
a forma de um
caleidoscópio. Conseguimos perceber através disto que o
instrumento (que nunca foi praticamente construído) merece ser
posto nas mãos
do autor do projecto. Apresentamos aqui a figura de um pequeno modelo
de uma forma possível para o instrumento, fornecido por Kempe
à Loan Collection a pedido do Professor Sylvester (8).
Depois desta descoberta do Professor
Sylvester, ocorreu em simultâneo ao professor e a Kempe (que
comunicavam
um ao outro as suas descobertas por correio) que o princípio do
Plagiógrafo pode ser
alargado ao Contra-paralelogramo
do senhor Hart; é
esta descoberta
que vamos passar a explicar. Kempe aborda este assunto de um modo
diferente
daquele que descobriu, para conseguir explicar melhor.
Figura 15
Se
pegarmos no Contra-paralelogramo
do Sr. Hart e dobrarmos as
articulações nos quatro pontos que estão sobre a
mesma recta, através do mesmo ângulo, estes
passarão a encontrar-se nos vértices de um paralelogramo
de ângulos e área constantes, para
que o produto dos dois lados adjacentes seja constante.
Na
figura 16 os pontos estão sobre
os vértices
de um rectângulo. Os furos são tirados no meio das
articulações,
e a dobra fica em forma de ângulo recto.
Figura
16
Os
quatro furos OPO'C
estão sobre os quatro
vértices de um rectângulo, e o produto de quaisquer dois
lados adjacentes, como no exemplo OC'OP,
é constante. Segue-se que se O
for rodado até ao ponto fixo O',
como se vê na figura 6, e C
for rodado até à extremidade
da articulação, P
descreverá uma linha recta
inclinada
para PM num ângulo
semelhante ao das
articulações das barras, isto é, um ângulo
recta.
Portanto a linha
recta será paralela à recta que passa pelos pivots O e Q.
Este aparelho que por simplicidade descrevi, como sendo formado por
quatro linhas rectas que depois são “dobradas”, é certo
que em linguagem mais formal, formam quatro planos ligados, tal como as
utilizadas na Fig.1, na qual
vários pontos são tomados. Isto explica o nome dado pelo
Professor Sylvester, o “Quadruplane”. As suas propriedades não
são
difíceis de investigar, e quando se indica que na Fig.16, tal
como
na Fig.12, Ob, bC formam metade duma ponta de flecha, e Ao, aP metade
de
um papagaio, estas tornam-se evidentes.
Não
posso abandonar o estudo deste aparelho, ao qual meu nome está
associado juntamente ao do Professor Sylvester, sem expressar a minha
gratidão pelo seu interesse, que ajudou nas minhas
investigações, e meu pesar pela sua partida para a
América para ser Professor
na nova Johns Hopkins University, o que me privou de valiosas
sugestões e cujo encorajamento me ajudou tanto nas minhas
investigações.
Antes de terminar o estudo da
célula de Peaucellier e suas modificações, queria
apenas indicar outra propriedade importante que possui, para
além daquela que permite construir o movimento rectilíneo
exacto.
4.
Construção
de circunferências de qualquer raio.
Vimos
que a nossa articulação plana mais simples permite-nos
descrever uma circunferência com qualquer raio, e se
quiséssemos descrever uma com dez milhas de raio o método
mais apropriado seria ter uma ligação de dez milhas, mas
como isso seria, no mínimo, trabalhoso, satisfaz-nos saber que
conseguimos o mesmo propósito com muito menos aparato. Quando a
célula de Peaucellier é construída com a
finalidade de descrever uma linha recta, tal como já foi
referido, a distância entre os pivots deve ser a mesma que o
comprimento da ligação “extra”.
Se esta distância não for a
mesma, não obtemos linhas rectas descritas pelo lápis,
mas sim circunferências. Se houver uma ligeira diferença,
as circunferências descritas serão enormes, diminuindo em
tamanho com o aumento da diferença da distância entre os
pivots
e o comprimento da ligação extra. Para um
matemático que sabe que o inverso de uma circunferência
é uma circunferência, isto é claro, mas não
é de descurar uma prova desta proposição.
Na Fig.17 supõe-se que OQ e OQ’
são proporcionais aos respectivos raios das
circunferências. Então se ODCPS formam qualquer linha
recta com origem em O, DQ será paralela a PQ’, e CQ a SQ',
então OD : OP = OQ : OQ'.
Considerando agora a prova que demos em
relação à Fig.7, é claro que o produto
OD.OC é constante, e desde que OP: OD= K (constante),
então OP.OC é constante. Isto é, se OC.OP for
constante e C descrever uma circunferência de centro Q,
então P descreverá uma de centro Q’. Tomando O, C e P tal
como O, C e P da célula
de Peaucellier na Fig.7, vemos como P virá a descrever uma
circunferência.
Isto foi apenas
necessário para salientar a importância da
“bússola” que foi Peaucellier na arte mecânica de desenhar
circunferências de grandes raios.
Os modelos exibidos pelo
Conservatório e do M.Breguet
são fornecidos com pivots que se movimentam com o fim de variar
a distância entre os pontos O e Q e assim obter
circunferências
de qualquer raio.
5.
Construção
de linhas rectas.
Vamos
agora estudar mecanismos articulados seguindo a leitura do Professor
Sylvester, o qual já foi referido.
Ao
longo
desta leitura estava mencionado que existiriam provavelmente outras
formas
de movimentos de sete ligações paralelas segundo M.
Peaucellier, até então o único conhecedor, que me
orientou na investigação sobre este assunto. Eu sucedi-o
obtendo novos movimentos paralelos e totalmente diferentes daqueles
conhecidos por
M.Peaucellier. Mostro dois desses exemplos, e o quanto seu estudo nos
ajudarão a considerar outros importantes
mecanismos
articulados.
Se tomarmos dois rombóides, um
que seja o dobro do outro, tal que a maior barra de cada seja o dobro
do comprimento das mais pequenas, e em que a barra maior do
rombóide
mais pequeno seja do mesmo tamanho que a barra mais pequena do
rombóide
grande. Liguem-se os dois rombóides de modo a obter a figura 18.
A
propriedade importante deste sistema articulado é que, embora
possamos movimentar as barras, fazendo com que os pontos P e P’ se
aproximem ou se afastem um do outro, a linha imaginária que une
P a P’ é sempre
perpendicular à barra que une os pivots ou seja LM. Se um dos
pontos P ou P’ for fixo, e a ligação LM se mova de modo a
manter-se sempre paralela a uma linha fixa independentemente do
movimento,
o outro ponto descreverá uma recta perpendicular a essa linha
fixa.
A Fig.19 mostra o movimento descrito fixando P’. Não é
necessário explicar como o paralelismo de LM é preservado
adicionando a ligação SL, fica claro recorrendo à
figura. A linha recta que é
descrita pelo ponto P é perpendicular à recta que une os
dois pivots fixos; podemos contudo, sem aumentarmos o número de
barras, construir um ponto no mecanismo, que descreva uma linha recta
que faz um ângulo definido
com
SP
ou, podemos pela substituição da ligação PC
por uma peça plana, obter um número de pontos qualquer,
movendo-se em qualquer direcção. Na Fig.20, para
simplificar, apenas se mostram a barra CP’ e a nossa peça que
substitui a ligação PC. A nova peça é
circular
e tem buracos por toda a peça à mesma distância de
C em que PC = PC’. Agora vemos pela Fig.19 que P se move numa linha
recta
vertical, em que PC na Fig.20 é a mesma que na Fig.19; mas por
uma
propriedade da circunferência muito conhecida, se H for qualquer
um dos buracos na peça, o ângulo HP’P é constante,
assim a linha recta HP’ está fixa, e H move-se nessa linha; de
igual
modo todos os outros buracos movem-se ao longo de linhas rectas que
passam
no ponto fixo P’, e obtemos um movimento numa linha recta em todas as
direcções.
Este
tipo de movimento é denominado
pelo Professor Sylvester como “tram-motion”
(movimento de vagões
de carga). Vale a pena reparar, que o movimento do disco circular
é o mesmo, se a circunferência a tracejado pequena rolasse
dentro
da circunferência a tracejado grande; temos então, o
movimento paralelo de White reproduzido através de um mecanismo
articulado. Claro que, se
Figura
20
(ver relatório da
construção pdf)
pretendêssemos
movimento numa só direcção, poderíamos
retirar todo o disco excepto a porção que forma a barra
contendo C, P e o ponto que se move na
direcção pretendida.
O
rombóide duplo
da Fig.18 pode ser utilizado para produzir outros mecanismos
articulados de utilidade. Por vezes, é necessário ter,
não só um ponto, mas uma estrutura inteira em que todos
os pontos se movam em linha recta. Como exemplos temos o escorrega
apoiado num torno mecânico,
as tábuas transversais, “marteladores”(punches), perfuradores,
pontes levadiças, etc.. O rombóide duplo permite-nos
produzir mecanismos
articulados com essas propriedades. No mecanismo articulado da Fig.21
(construção que
Figura 22
(ver relatório da
construção pdf)
compreenderemos logo que
se entenda o
funcionamento
do rombóide duplo), a barra horizontal move-se para a frente
e para trás como que se deslizasse num eixo horizontal fixo.
Este
mecanismo poderia ser eventualmente útil na
construção
de uma viga mestra duma ponte levadiça.
No
mecanismo articulado da Fig.22, que
é outra combinação de dois rombóides
duplos, a barra vertical move-se de tal forma que todos os pontos
descrevem linhas rectas horizontais.
Existe
uma modificação deste
mecanismo articulado que será, na minha opinião,
interessante. No sistema articulado da Fig.23, na qual, se as barras a
fino fossem retiradas, seria o esboço da Fig.22, retiremos os
segmentos de recta a tracejado e acrescentemos os segmentos de recta
finos;
Figura 23
(ver relatório da
construção pdf)
Obtemos então um sistema articulado
com as mesmas propriedades do mecanismo articulado da Fig.22, mas visto
na sua nova forma como sendo a régua das paralelas duplas
(ordinary double parallel ruler) com três barras adicionadas. A
Fig.24 é uma régua de paralelas duplas (double parallel
ruler) construído numa placa com uma leve
modificação. Se a régua
de baixo for fixa horizontalmente a de cima mover-se-á
verticalmente para cima e para baixo na placa, não efectuando
movimento lateral.
Enquanto
estou com este tipo de movimento,
posso descrever um trabalho exibido na Loan Collection pelo Professor
Tchebicheff,
Figura 24
(ver relatório da
construção pdf)
que é bastante parecido
com um complicado banco de campismo,
cujo assento efectua um movimento horizontal. O movimento não
é completamente rectilíneo; o aparelho (como a linha a
fino
da figura
Figura 25
(ver relatório da
construção pdf)
não
varia de
comprimento, logo
poder-se-ia pôr uma barra no seu lugar) é uma
combinação de dois movimentos paralelos do Professor
Tchebicheff dados na Fig.4,
com a inserção de algumas barras para manter o assento
paralelo com a sua base. O desvio da superfície plana superior
de um movimento completamente horizontal é por isso dupla do
traçado do
movimento paralelo simples.
A Fig.26
mostra como poderá ser
produzido um aparelho similar, de construção muito mais
simples,
usando aproximações do movimento paralelo de Tchebicheff.
Os comprimentos das barras que formam o movimento paralelo foram dados
anteriormente (Fig.4). A distância entre pivots no assento
móvel
é metade da distância
entre
os pivots fixos, e o comprimento da
barra restante é metade do comprimento das barras radiais.
Um movimento exacto do mesmo
tipo é apresentado na Fig.27. O,
C, O', P são os quatro focos dum
quadrilátero apresentado na figura, na qual as barras são
dobradas em ângulo recto, de tal maneira que OC.OP
é constante, e CÔP
é um angulo recto. O foco O
é articulado sobre um ponto fixo, e
C é construído
de modo a que a
barra QC se mova num
círculo de centro Q e
raio QC=OQ. Consequentemente
P move-se numa linha paralela a OQ. As cinco peças móveis
descritas
constituem o movimento paralelo de Sylvester-Kempe. A isto
acrescentamos
o banco móvel e a restante barra RO’. As distâncias aos
pivots,
PR e RO’, são tais que PR=RO’=OQ. Assim o banco permanece sempre
paralelo
a QO, e P move-se exactamente numa linha recta horizontal, tal como
qualquer
ponto nesta linha.
Este
sistema articulado pode ser usado como
mesa de trabalho de mobilidade suave.
Chegamos agora ao segundo dos movimentos
paralelos.
Se tomarmos um rombóide e articularmos a extremidade atenuada a
um
pivot fixo, e fizermos a extremidade mais afiada mover-se para cima e
para
baixo numa linha recta, passando entre o pivot fixo, as barras curtas
rodarão
em torno do pivot fixo com igual velocidade mas em
direcções
opostas. Reciprocamente, se as barras rodarem com igual velocidade em
direcções
opostas, a trajectória da extremidade afiada será uma
linha
recta, e o mesmo ocorrerá se, em vez das barras curtas estarem
articuladas no mesmo ponto, estiverem articuladas em pontos diferentes.
Como
descobrir um mecanismo articulado que
faça duas barras rodarem com igual velocidade em
direcções
opostas? Não há dificuldade em fazer duas barras rodarem
com
igual velocidade na mesma direcção - o mecanismo usual
articulado
do paralelogramo usado em locomotivas, composto do motor, das duas
manivelas,
e da barra de ligação, é o necessário;
assim
como também não há dificuldade em fazer duas
barras
rodarem em direcções opostas e com diferentes velocidades
-
o contra-paralelogramo dá-nos isso.
Depois
de algumas dificuldades Kempe teve êxito
na sua obtenção pela associação de dois
contra-paralelogramos,
colocados juntos tal como os dois rombóides no sistema
articulado
da Fig. 18. Um dos contra-paralelogramo é o dobro do outro, e as
barras
longas de cada um são o dobro das curtas (10).
Os mecanismos articulados
das Figs. 30 e 31 são, considerando a barra invisível que
une
os pivots fixos, dois seis-barras compostos de dois
contra-paralelogramos
como acima mencionado. As barras pontiagudas rodam com igual velocidade
em
direcções opostas, e por conseguinte, como mostrado na
Fig.
28, originam simultaneamente movimentos paralelos. Estes mecanismos
também
podem ser usados no objectivo de inverter a velocidade angular (11).
Uma extensão do sistema articulado
empregue
nestas duas últimas figuras dá-nos um interessante
aparelho.
Se tomarmos outro sistema articulado contra-paralelogramo de metade do
tamanho
do mais pequeno e ajustarmo-lo ao mais pequeno
exactamente
como ajustámos o mais
pequeno ao maior, obtemos o 8-barras da Fig. 32. Tem, como se vê,
quatro
ligações pontiagudas radiando de um centro com
ângulos
iguais; se abrirmos as duas extremos até qualquer ângulo
desejado,
veremos que as duas intermédias trissectam o ângulo.
Isso tem, como pode ver, quatro barras irradiando de um ponto com
ângulos iguais. Se abrirmos as barras dos extremos, formando
estas qualquer ângulo, verá que os que ficam no meio
vão exactamente trissectar o ângulo. Assim, o que usamos
para obter o efeito do primeiro
Figura
32
(ver relatório da
construção pdf)
postulado de
Euclides sobre articulações planas, permite-nos resolver
um problema sem solução “geométrica”. Posso
obviamente
Figura
33
(ver relatório da
construção pdf)
continuar a extender
a articulação plana obtendo outras que dividam um
ângulo em quantas partes queiramos. É obvio que estas
articulações planas podem também ser utilizadas
como ferramentas para duplicar, triplicar, etc, velocidades angulares
(12).
Outra
versão
do”Isoklinostat” - denominado pelo professor Sylvester - foi descoberta
por ele. Esta articulação tem a grande vantagem de ser
constituída por muitos braços tendo apenas duas
distâncias
pivot sem qualquer proporção entre elas, mas tem mais
braços que o outro, e como a abertura dos braços é
limitada, não pode ser utilizada como multiplicador de
ângulos.
Depois da
publicação do artigo contendo uma lista dos trabalhos dos
quais temos estado a
falar, fizemos notar noutro artigo, perante a “Royal Society” (13),
que os movimentos paralelos, bem como os de M. Peaucellier e Mr.Hart,
são todos casos particulares de mecanismos articulados gerais
que dependem do uso de uma articulação plana composta por
duas figuras similares. Dado o carácter puramente
matemático
desta questão, o assunto não será convidativo a
uma abordagem mais profunda, pelo que o deixamos em aberto para quem
nele
estiver interessado.
Pensamos que o problema
da
construção de uma linha recta com mecanismos articulados
fica por aqui, e não queremos ir muito longe com a parte
teórica por razões
de ordem prática. Os resultados obtidos deverão
interessar
mais a um mecânico, caso tenham algum valor práctico.
Mostramo-vos como conseguimos desenhar uma linha recta, problema que
nos levou a investigar alguns tipos importantes de
articulações. Com isto esperamos provar-vos o quão
importante e interessante é este novo campo de
investigação. Há de facto neste livro muitos
factos que não foram provados (14); desafiamos o leitor a
investigar o assunto, podendo assim fazer novas descobertas, uma vez
que as áreas inexploradas neste assunto são ainda muitas.
Não considere o assunto acabado com a leitura do nosso livro.
Alguns conceitos
teóricos
- Semelhança de triângulos (pdf)
- Inversão num círculo (pdf)
- Mecanismos Transformadores (pdf)
