Tópicos de Geometria
- Exercícios -
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Exercício 4 TGex/04.pdf
Exercício 9 TGex/09.pdf
Exercícios 11,12 e 13 TGex/11-13.pdf
As resoluções destes três exercícios contêm provas das afirmações que constituem os enunciados dos Teoremas 14,16 e 17: verifique exactamente como!
Exercícios 19-34 TGex/19-34.pdf
Note que não são 16 exercícios: no formato das notas do curso, os exercícios repartem a numeração sequencial com outros itens; para além disso não estão as resoluções de todos os exercícios nesta zona, mas apenas os mais importantes.
Exercício 35 TGex/35.pdf
Exercício 36 (Classificação das isometrias do plano) TGex/36.pdf
Exercício 2.1 - 8 (Teorema de Hjelmslev) TGex/2.1-08.pdf
Na resolução do exercício anterior, feita por alunos, são analisados separadamente cada um dos quatro tipos de isometria do plano; no caso das reflexões e das reflexões deslizantes o Teorema é quase imediato, sendo mais difícil a prova para o caso das rotações; no entanto, a prova no caso das translações e das rotações pode ser facilmente reduzido aos dois casos das isometrias inversas, como se explica na resolução seguinte
Exercício 2.1 - 8A TGex/2.1-08A.pdf
Exercício 2.1 - 23 (Teorema de Adição de Ângulos para Rotações) TGex/2.1-23.pdf
Esta é uma resolução geométrica, apoiada em algumas figuras; há uma prova mais directa (cf. exercício 2.1 - 24) com cálculo de matrizes 3x3, no entanto aquela prova geométrica tem informação adicional, e construtiva, sobre os novos centros de rotação que se obtêm quando fazemos o produto de duas rotações ou de uma rotação e uma translação...
Exercícios 39, 46 TGex/39,46.pdf
Exercícios 54-55 TGex/54-55.pdf ou TGex/55A.pdf ou TGex/55B.pdf
Estes são os exercícios que mostram que toda a aplicação afim do plano é um produto de "esforços" ("strains" ...); são aqui deixadas três apresentações diferentes, preparadas por três grupos de alunos: as resoluções do exercício 55 seguem as indicações dadas no livro (pág. 178) de G. E. Martin, indicado na bibliografia, mas acompanhadas de algumas descrições geométricas. (Note-se que a primeira resolução não apresenta a verificação matricial que declara mesmo no fim do texto...)
Exercícios 62-63 TGex/62-63.pdf
Exercícios 68-69 (Complementos à prova do Teorema de Leonardo) TGex/68-69.pdf
Exercícios 74-80 ( Classificação das isometrias do espaço) TGex/74-80.pdf
Exercícios 81-83 TGex/81-83.pdf
Estes exercícios contêm resultados importantes sobre o produto de rotações; em particular é mostrado que os meios-giros geram as isometrias directas do espaço: toda a isometria directa é produto de dois meios-giros. O que é um resultado mesmo giro!
Exercícios 94-95 TGex/94-95.pdf
Estes dois exercícios, que evocam simplesmente alguns resultados anteriores, mostram, em conjunto, que num grupo de rotações do espaço os eixos são concorrentes num mesmo ponto.